Страница 52, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Постройте и прочитайте график функции:

9.18. а) $y = \begin{cases} \frac{1}{x}, \text{ если } x < 0, \\ x^{-\frac{1}{2}}, \text{ если } x > 0; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} x^2 - 2x, \text{ если } -1 \le x \le 2, \\ 2(x - 2)^{0.75}, \text{ если } 2 < x \le 3. \end{cases}$

а) $ y = \begin{cases} \frac{1}{x}, & \text{если } x < 0 \\ x^{-\frac{1}{2}}, & \text{если } x > 0 \end{cases} $

1. Построение графика.

График функции состоит из двух частей.

Первая часть: $y = \frac{1}{x}$ при $x < 0$. Это ветвь стандартной гиперболы, расположенная в третьей координатной четверти. График симметричен относительно начала координат (но только эта ветвь). Он приближается к оси Y при $x \to 0^-$ ($y \to -\infty$) и к оси X при $x \to -\infty$ ($y \to 0^-$).
Контрольные точки: $(-4, -0.25)$, $(-2, -0.5)$, $(-1, -1)$, $(-0.5, -2)$.

Вторая часть: $y = x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$ при $x > 0$. Это график степенной функции, расположенный в первой координатной четверти. График приближается к оси Y при $x \to 0^+$ ($y \to +\infty$) и к оси X при $x \to +\infty$ ($y \to 0^+$).
Контрольные точки: $(0.25, 2)$, $(1, 1)$, $(4, 0.5)$.

Обе оси координат являются асимптотами для графика. Точка $x=0$ не входит в область определения, в этой точке функция имеет разрыв второго рода.

2. Свойства функции (чтение графика).

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
2. Область значений: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
3. Нули функции: нет, так как $y \neq 0$.
4. Промежутки знакопостоянства:
   • $y > 0$ при $x \in (0; +\infty)$;
   • $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$.
5. Четность: функция общего вида. Область определения симметрична, но $y(-x) = \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x}$, а $y(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$. Условие четности $y(-x) = y(x)$ и нечетности $y(-x) = -y(x)$ не выполняются. Например, $y(4) = 0.5$, $y(-4) = -0.25$, при этом $-y(4) = -0.5 \neq y(-4)$.
6. Промежутки монотонности: функция убывает на всей области определения, то есть на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.
7. Экстремумы: локальных максимумов и минимумов нет.
8. Асимптоты:
   • Вертикальная асимптота: $x=0$.
   • Горизонтальная асимптота: $y=0$.

Ответ: График функции состоит из ветви гиперболы $y=1/x$ в третьей четверти и графика функции $y=1/\sqrt{x}$ в первой четверти. Свойства функции перечислены выше.

б) $ y = \begin{cases} x^2 - 2x, & \text{если } -1 \le x \le 2 \\ 2(x-2)^{0.75}, & \text{если } 2 < x \le 3 \end{cases} $

1. Построение графика.

График функции состоит из двух частей.

Первая часть: $y = x^2 - 2x$ на отрезке $[-1; 2]$. Это часть параболы с ветвями вверх.

• Вершина параболы: $x_v = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$. $y_v = 1^2 - 2(1) = -1$. Точка вершины $(1, -1)$ принадлежит отрезку $[-1; 2]$.
• Значения на концах отрезка:
  • при $x=-1$, $y = (-1)^2 - 2(-1) = 3$. Точка $(-1, 3)$.
  • при $x=2$, $y = 2^2 - 2(2) = 0$. Точка $(2, 0)$.
• Нули функции: $x^2 - 2x = 0 \Rightarrow x(x-2)=0 \Rightarrow x=0, x=2$. Обе точки входят в отрезок.

Итак, это дуга параболы, проходящая через точки $(-1, 3)$, $(0, 0)$, $(1, -1)$ и $(2, 0)$.

Вторая часть: $y = 2(x-2)^{0.75} = 2\sqrt[4]{(x-2)^3}$ на полуинтервале $(2; 3]$.

• Это график степенной функции, смещенный на 2 единицы вправо и растянутый в 2 раза по оси Y.
• Значения на концах интервала:
  • при $x \to 2^+$, $y \to 2(2-2)^{0.75} = 0$. График начинается из точки $(2, 0)$, что обеспечивает непрерывность функции.
  • при $x=3$, $y = 2(3-2)^{0.75} = 2(1)^{0.75} = 2$. Точка $(3, 2)$.
• Производная $y' = \frac{1.5}{\sqrt[4]{x-2}}$ положительна на $(2, 3]$, значит, функция возрастает. При $x \to 2^+$ производная стремится к $+\infty$, что означает, что касательная к графику в точке $(2, 0)$ вертикальна (если смотреть справа).

2. Свойства функции (чтение графика).

1. Область определения: $D(y) = [-1; 3]$.
2. Область значений: Минимальное значение достигается в вершине параболы: $y_{min} = -1$. Максимальное значение достигается на левом конце отрезка: $y_{max} = 3$. $E(y) = [-1; 3]$.
3. Нули функции: $y=0$ при $x=0$ и $x=2$.
4. Промежутки знакопостоянства:
   • $y > 0$ при $x \in [-1; 0) \cup (2; 3]$;
   • $y < 0$ при $x \in (0; 2)$.
5. Четность: функция общего вида, так как область определения $D(y) = [-1; 3]$ несимметрична относительно начала координат.
6. Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения $[-1; 3]$.
7. Промежутки монотонности:
   • функция убывает на отрезке $[-1; 1]$;
   • функция возрастает на отрезке $[1; 3]$.
8. Экстремумы:
   • Точка минимума: $x_{min}=1$, $y_{min}=-1$. Это также глобальный минимум.
   • Точка локального максимума на границе области определения: $x=-1$, $y=3$. Это глобальный максимум.
   • Точка $(2, 0)$ является точкой локального минимума.

Ответ: График функции состоит из дуги параболы $y=x^2-2x$ на отрезке $[-1; 2]$ и фрагмента графика степенной функции $y = 2(x-2)^{0.75}$ на полуинтервале $(2; 3]$. Функция непрерывна. Свойства функции перечислены выше.

9.19. a) $y = \begin{cases} x^2, & \text{если } x \le 0, \\ x^{\frac{2}{3}}, & \text{если } 0 < x \le 1, \\ \frac{1}{x}, & \text{если } x > 1; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} 2, & \text{если } x < -1, \\ 2x^2, & \text{если } -1 \le x \le 0, \\ x^{\frac{3}{2}}, & \text{если } x > 0. \end{cases}$

а)

Дана кусочно-заданная функция:

$y = f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } x \le 0, \\ x^{\frac{2}{3}}, & \text{если } 0 < x \le 1, \\ \frac{1}{x}, & \text{если } x > 1. \end{cases}$

Эта функция определена для всех действительных чисел $x$. Каждая из трех частей функции ($x^2$, $x^{\frac{2}{3}}$, $\frac{1}{x}$) непрерывна и дифференцируема в своей области определения. Проблемные точки, в которых функция может быть не непрерывной или не дифференцируемой, — это точки "стыка", то есть $x=0$ и $x=1$. Исследуем функцию в этих точках.

Исследование в точке $x=0$:

1. Непрерывность. Для непрерывности в точке $x=0$ необходимо, чтобы односторонние пределы были равны значению функции в этой точке.

Значение функции: $f(0) = 0^2 = 0$.

Левосторонний предел (при $x \to 0^-$): $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} x^2 = 0$.

Правосторонний предел (при $x \to 0^+$): $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x^{\frac{2}{3}} = 0$.

Поскольку $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 0$, функция непрерывна в точке $x=0$.

2. Дифференцируемость. Для дифференцируемости в точке $x=0$ необходимо, чтобы левая и правая производные в этой точке существовали и были равны.

Найдем производную для каждого интервала:

При $x < 0$, $y' = (x^2)' = 2x$.

При $0 < x < 1$, $y' = (x^{\frac{2}{3}})' = \frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1} = \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$.

Левая производная в $x=0$: $f'_{-}(0) = \lim_{x \to 0^-} 2x = 0$.

Правая производная в $x=0$: $f'_{+}(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{2}{3\sqrt[3]{x}} = +\infty$.

Так как правая производная в точке $x=0$ является бесконечной, функция не дифференцируема в этой точке. График функции в точке $(0, 0)$ имеет касп (точку возврата) с вертикальной касательной.

Исследование в точке $x=1$:

1. Непрерывность.

Значение функции: $f(1) = 1^{\frac{2}{3}} = 1$.

Левосторонний предел (при $x \to 1^-$): $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} x^{\frac{2}{3}} = 1$.

Правосторонний предел (при $x \to 1^+$): $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \frac{1}{x} = 1$.

Поскольку $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) = 1$, функция непрерывна в точке $x=1$.

2. Дифференцируемость.

Найдем производную для интервала $x > 1$: $y' = (\frac{1}{x})' = -\frac{1}{x^2}$.

Левая производная в $x=1$: $f'_{-}(1) = \lim_{x \to 1^-} \frac{2}{3\sqrt[3]{x}} = \frac{2}{3}$.

Правая производная в $x=1$: $f'_{+}(1) = \lim_{x \to 1^+} (-\frac{1}{x^2}) = -1$.

Так как $f'_{-}(1) \neq f'_{+}(1)$, функция не дифференцируема в точке $x=1$. График функции в точке $(1, 1)$ имеет излом (угловую точку).

Ответ: Функция непрерывна на всей числовой оси $(-\infty, +\infty)$, но не дифференцируема в точках $x=0$ и $x=1$.

б)

Дана кусочно-заданная функция:

$y = f(x) = \begin{cases} 2, & \text{если } x < -1, \\ 2x^2, & \text{если } -1 \le x \le 0, \\ x^{\frac{3}{2}}, & \text{если } x > 0. \end{cases}$

Эта функция определена для всех действительных чисел $x$. Точки "стыка", требующие исследования, — это $x=-1$ и $x=0$.

Исследование в точке $x=-1$:

1. Непрерывность.

Значение функции: $f(-1) = 2(-1)^2 = 2$.

Левосторонний предел (при $x \to -1^-$): $\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} 2 = 2$.

Правосторонний предел (при $x \to -1^+$): $\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} 2x^2 = 2(-1)^2 = 2$.

Поскольку $\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^+} f(x) = f(-1) = 2$, функция непрерывна в точке $x=-1$.

2. Дифференцируемость.

Найдем производную для каждого интервала:

При $x < -1$, $y' = (2)' = 0$.

При $-1 < x < 0$, $y' = (2x^2)' = 4x$.

Левая производная в $x=-1$: $f'_{-}(-1) = \lim_{x \to -1^-} 0 = 0$.

Правая производная в $x=-1$: $f'_{+}(-1) = \lim_{x \to -1^+} 4x = 4(-1) = -4$.

Так как $f'_{-}(-1) \neq f'_{+}(-1)$, функция не дифференцируема в точке $x=-1$. График функции в точке $(-1, 2)$ имеет излом.

Исследование в точке $x=0$:

1. Непрерывность.

Значение функции: $f(0) = 2(0)^2 = 0$.

Левосторонний предел (при $x \to 0^-$): $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} 2x^2 = 0$.

Правосторонний предел (при $x \to 0^+$): $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x^{\frac{3}{2}} = 0$.

Поскольку $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 0$, функция непрерывна в точке $x=0$.

2. Дифференцируемость.

Найдем производную для интервала $x > 0$: $y' = (x^{\frac{3}{2}})' = \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2}\sqrt{x}$.

Левая производная в $x=0$: $f'_{-}(0) = \lim_{x \to 0^-} 4x = 0$.

Правая производная в $x=0$: $f'_{+}(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{3}{2}\sqrt{x} = 0$.

Так как $f'_{-}(0) = f'_{+}(0) = 0$, функция дифференцируема в точке $x=0$, и ее производная $f'(0)=0$.

Ответ: Функция непрерывна на всей числовой оси $(-\infty, +\infty)$, но не дифференцируема в точке $x=-1$.

9.20. Решите графически неравенство:

a) $x^{\frac{1}{2}} < 6 - x;$

б) $x^{\frac{3}{2}} \ge x^{-2};$

В) $x^{-\frac{1}{4}} \le x^{3};$

Г) $x^{\frac{2}{3}} > x - 4.$

а) $x^{\frac{1}{2}} < 6 - x$

Чтобы решить данное неравенство графически, рассмотрим две функции: $y_1 = x^{\frac{1}{2}}$ и $y_2 = 6 - x$.

Функция $y_1 = x^{\frac{1}{2}}$ (или $y_1 = \sqrt{x}$) — это степенная функция. Её график — верхняя ветвь параболы, симметричной относительно оси Ox. Область определения этой функции: $x \ge 0$. График начинается в точке (0, 0) и проходит через точки (1, 1), (4, 2).

Функция $y_2 = 6 - x$ — это линейная функция. Её график — прямая линия, которая пересекает ось Oy в точке (0, 6) и ось Ox в точке (6, 0).

Решением неравенства $x^{\frac{1}{2}} < 6 - x$ будут те значения $x$, для которых график функции $y_1$ находится ниже графика функции $y_2$.

Найдем точку пересечения графиков, решив уравнение $y_1 = y_2$:
$\sqrt{x} = 6 - x$
Возведем обе части в квадрат (при условии $6 - x \ge 0$, то есть $x \le 6$):
$x = (6 - x)^2$
$x = 36 - 12x + x^2$
$x^2 - 13x + 36 = 0$
Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = 4$ и $x_2 = 9$.
Корень $x_2 = 9$ не удовлетворяет условию $x \le 6$, поэтому является посторонним.
Следовательно, графики пересекаются в одной точке, абсцисса которой равна $x=4$.

Анализируя графики, видим, что на интервале от 0 (включительно, так как это область определения $y_1$) до 4 (не включая, так как неравенство строгое) график $y_1 = \sqrt{x}$ лежит ниже прямой $y_2 = 6 - x$.
Ответ: $x \in [0, 4)$.

б) $x^{\frac{3}{2}} \ge x^{-2}$

Рассмотрим функции $y_1 = x^{\frac{3}{2}}$ и $y_2 = x^{-2}$.

Функция $y_1 = x^{\frac{3}{2}}$ определена при $x \ge 0$. Её график начинается в точке (0, 0) и возрастает, проходя через точки (1, 1) и (4, 8).

Функция $y_2 = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$ определена при $x \ne 0$. Её график расположен в верхней полуплоскости и симметричен относительно оси Oy. При $x > 0$ график убывает, проходя через точки (1, 1) и (2, 1/4).

Общая область определения для неравенства: $x > 0$. Решением будут те значения $x$, при которых график $y_1$ лежит не ниже (то есть на или выше) графика $y_2$.

Найдем точку пересечения, решив уравнение $x^{\frac{3}{2}} = x^{-2}$:
$x^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{x^2}$
Умножим обе части на $x^2$ (это возможно, так как $x>0$):
$x^{\frac{3}{2}} \cdot x^2 = 1$
$x^{\frac{3}{2} + 2} = 1$
$x^{\frac{7}{2}} = 1 \implies x = 1$.
Графики пересекаются в точке (1, 1).

При $0 < x < 1$ график $y_1=x^{\frac{3}{2}}$ лежит ниже графика $y_2=x^{-2}$. При $x > 1$ график $y_1$ лежит выше графика $y_2$. Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), точка пересечения $x=1$ включается в решение.
Ответ: $x \in [1, +\infty)$.

в) $x^{-\frac{1}{4}} \le x^3$

Рассмотрим функции $y_1 = x^{-\frac{1}{4}}$ и $y_2 = x^3$.

Функция $y_1 = x^{-\frac{1}{4}} = \frac{1}{\sqrt[4]{x}}$ определена при $x > 0$. График этой функции убывает во всей области определения, проходя через точки (1, 1) и (16, 1/2).

Функция $y_2 = x^3$ — кубическая парабола, определена для всех $x$. График возрастает и проходит через точки (0, 0), (1, 1), (2, 8).

Общая область определения для неравенства: $x > 0$. Решением будут те значения $x$, при которых график $y_1$ лежит не выше (то есть на или ниже) графика $y_2$.

Найдем точку пересечения: $x^{-\frac{1}{4}} = x^3$:
$\frac{1}{x^{1/4}} = x^3$
$1 = x^3 \cdot x^{1/4}$
$1 = x^{3 + \frac{1}{4}} = x^{\frac{13}{4}} \implies x = 1$.
Графики пересекаются в точке (1, 1).

На интервале $(0, 1)$ график $y_1 = x^{-\frac{1}{4}}$ находится выше графика $y_2 = x^3$. При $x > 1$ график $y_1$ находится ниже графика $y_2$. Так как неравенство нестрогое ($\le$), точка $x=1$ включается в ответ.
Ответ: $x \in [1, +\infty)$.

г) $x^{\frac{2}{3}} > x - 4$

Рассмотрим функции $y_1 = x^{\frac{2}{3}}$ и $y_2 = x - 4$.

Функция $y_1 = x^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{x^2}$ определена для всех действительных чисел $x$. Функция четная, ее график симметричен относительно оси Oy. График имеет точку возврата (касп) в (0, 0) и проходит через точки (1, 1), (8, 4), (-1, 1), (-8, 4).

Функция $y_2 = x - 4$ — линейная, ее график — прямая, проходящая через точки (0, -4) и (4, 0).

Решением неравенства будут те значения $x$, при которых график $y_1$ находится строго выше графика $y_2$.

Найдем точку пересечения: $x^{\frac{2}{3}} = x - 4$.
Можно заметить, что $x=8$ является корнем уравнения: $8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4$ и $8-4=4$.
Анализ производных или дальнейшее исследование уравнения показывает, что это единственная точка пересечения.

Сравним положение графиков.
При $x < 8$, график функции $y_1 = x^{\frac{2}{3}}$ находится выше прямой $y_2 = x - 4$. Например, при $x=0$, имеем $0 > -4$. При $x<0$, значения $y_1$ всегда положительны, а значения $y_2$ отрицательны, поэтому $y_1 > y_2$.
В точке $x=8$ значения функций равны.
При $x > 8$ прямая $y_2 = x-4$ оказывается выше графика $y_1 = x^{\frac{2}{3}}$.
Неравенство строгое ($>$), поэтому точка пересечения $x=8$ не включается в решение.
Ответ: $x \in (-\infty, 8)$.

9.21. Известно, что $f(x) = x^{\frac{1}{4}}$. Найдите:

а) $f(16x);$

б) $f(81x^4);$

в) $f\left(\frac{1}{81}x\right);$

г) $f(x^{-8}).$

Дана функция $f(x) = x^{\frac{1}{4}}$. Чтобы найти значение функции для заданного аргумента, необходимо подставить этот аргумент вместо $x$ в определение функции и упростить полученное выражение, используя свойства степеней.

а) $f(16x)$

Подставим $16x$ в функцию вместо $x$:

$f(16x) = (16x)^{\frac{1}{4}}$

Используем свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$:

$(16x)^{\frac{1}{4}} = 16^{\frac{1}{4}} \cdot x^{\frac{1}{4}}$

Вычислим $16^{\frac{1}{4}}$. Это корень 4-й степени из 16. Так как $16 = 2^4$, то:

$16^{\frac{1}{4}} = (2^4)^{\frac{1}{4}} = 2^{4 \cdot \frac{1}{4}} = 2^1 = 2$

Таким образом, получаем:

$f(16x) = 2x^{\frac{1}{4}}$

Ответ: $2x^{\frac{1}{4}}$

б) $f(81x^4)$

Подставим $81x^4$ в функцию вместо $x$:

$f(81x^4) = (81x^4)^{\frac{1}{4}}$

Используем свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$:

$(81x^4)^{\frac{1}{4}} = 81^{\frac{1}{4}} \cdot (x^4)^{\frac{1}{4}}$

Вычислим $81^{\frac{1}{4}}$. Это корень 4-й степени из 81. Так как $81 = 3^4$, то:

$81^{\frac{1}{4}} = (3^4)^{\frac{1}{4}} = 3^{4 \cdot \frac{1}{4}} = 3^1 = 3$

Далее, упростим $(x^4)^{\frac{1}{4}}$. По определению корня четной степени $\sqrt[n]{a^n} = |a|$ для четного $n$. В нашем случае $n=4$:

$(x^4)^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{x^4} = |x|$

Следовательно, получаем:

$f(81x^4) = 3|x|$

Ответ: $3|x|$

в) $f\left(\frac{1}{81}x\right)$

Подставим $\frac{1}{81}x$ в функцию вместо $x$:

$f\left(\frac{1}{81}x\right) = \left(\frac{1}{81}x\right)^{\frac{1}{4}}$

Используем свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$:

$\left(\frac{1}{81}x\right)^{\frac{1}{4}} = \left(\frac{1}{81}\right)^{\frac{1}{4}} \cdot x^{\frac{1}{4}}$

Вычислим $\left(\frac{1}{81}\right)^{\frac{1}{4}}$. Используя свойство степени дроби $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$:

$\left(\frac{1}{81}\right)^{\frac{1}{4}} = \frac{1^{\frac{1}{4}}}{81^{\frac{1}{4}}} = \frac{1}{3}$

Таким образом, получаем:

$f\left(\frac{1}{81}x\right) = \frac{1}{3}x^{\frac{1}{4}}$

Ответ: $\frac{1}{3}x^{\frac{1}{4}}$

г) $f(x^{-8})$

Подставим $x^{-8}$ в функцию вместо $x$:

$f(x^{-8}) = (x^{-8})^{\frac{1}{4}}$

Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(x^{-8})^{\frac{1}{4}} = x^{-8 \cdot \frac{1}{4}} = x^{-\frac{8}{4}} = x^{-2}$

Это выражение также можно записать в виде дроби:

$x^{-2} = \frac{1}{x^2}$

Следовательно, получаем:

$f(x^{-8}) = x^{-2}$

Ответ: $x^{-2}$

9.22. Известно, что $f(x) = x^{-\frac{2}{3}}$. Найдите:

а) $f(8x^3)$;

б) $f(x^{-6})$;

в) $f\left(\frac{1}{27}x\right)$;

г) $f(x^{12})$.

Дана функция $f(x) = x^{-\frac{2}{3}}$. Чтобы найти значения функции для заданных аргументов, необходимо подставить каждый аргумент вместо $x$ в определение функции и упростить полученное выражение, используя свойства степеней.

а) $f(8x^3)$
Подставляем $8x^3$ в качестве аргумента в функцию $f(x)$:
$f(8x^3) = (8x^3)^{-\frac{2}{3}}$
Применим свойство степени $(ab)^n = a^n b^n$:
$(8x^3)^{-\frac{2}{3}} = 8^{-\frac{2}{3}} \cdot (x^3)^{-\frac{2}{3}}$
Теперь упростим каждый множитель:
$8^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{8^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{(\sqrt[3]{8})^2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$
Для второго множителя применим свойство $(a^m)^n = a^{mn}$:
$(x^3)^{-\frac{2}{3}} = x^{3 \cdot (-\frac{2}{3})} = x^{-2}$
Перемножим полученные результаты:
$f(8x^3) = \frac{1}{4} \cdot x^{-2} = \frac{1}{4x^2}$
Ответ: $\frac{1}{4x^2}$

б) $f(x^{-6})$
Подставляем $x^{-6}$ в качестве аргумента в функцию $f(x)$:
$f(x^{-6}) = (x^{-6})^{-\frac{2}{3}}$
Применим свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:
$(x^{-6})^{-\frac{2}{3}} = x^{-6 \cdot (-\frac{2}{3})} = x^{\frac{12}{3}} = x^4$
Ответ: $x^4$

в) $f(\frac{1}{27}x)$
Подставляем $\frac{1}{27}x$ в качестве аргумента в функцию $f(x)$:
$f(\frac{1}{27}x) = (\frac{1}{27}x)^{-\frac{2}{3}}$
Применим свойство степени $(ab)^n = a^n b^n$:
$(\frac{1}{27}x)^{-\frac{2}{3}} = (\frac{1}{27})^{-\frac{2}{3}} \cdot x^{-\frac{2}{3}}$
Упростим первый множитель:
$(\frac{1}{27})^{-\frac{2}{3}} = (27)^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{27})^2 = 3^2 = 9$
Перемножим полученные результаты:
$f(\frac{1}{27}x) = 9 \cdot x^{-\frac{2}{3}}$
Ответ: $9x^{-\frac{2}{3}}$

г) $f(x^{12})$
Подставляем $x^{12}$ в качестве аргумента в функцию $f(x)$:
$f(x^{12}) = (x^{12})^{-\frac{2}{3}}$
Применим свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:
$(x^{12})^{-\frac{2}{3}} = x^{12 \cdot (-\frac{2}{3})} = x^{-\frac{24}{3}} = x^{-8}$
Ответ: $x^{-8}$

9.23. a) Известно, что $f(x) = x^{\frac{1}{4}}$, $g(x) = x^{-2}$. Докажите, что

$f(16x^8) = 2(g(x)^{-1})$.

б) Известно, что $f(x) = x^{\frac{2}{3}}$, $g(x) = x^{-3}$. Докажите, что

$f(27x^9) = 9(g(x))^{-2}$.

а) Даны функции $f(x) = x^{\frac{1}{4}}$ и $g(x) = x^{-2}$. Необходимо доказать тождество $f(16x^8) = 2(g(x))^{-1}$.

Для этого преобразуем левую и правую части равенства по отдельности.

Преобразуем левую часть, подставив в функцию $f(x)$ аргумент $16x^8$:
$f(16x^8) = (16x^8)^{\frac{1}{4}}$

Используя свойства степеней $(ab)^n = a^n b^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:
$f(16x^8) = 16^{\frac{1}{4}} \cdot (x^8)^{\frac{1}{4}} = 2 \cdot x^{8 \cdot \frac{1}{4}} = 2x^2$.

Теперь преобразуем правую часть, подставив определение функции $g(x)$:
$2(g(x))^{-1} = 2(x^{-2})^{-1}$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:
$2(x^{-2})^{-1} = 2 \cdot x^{(-2) \cdot (-1)} = 2x^2$.

Мы видим, что левая и правая части равенства равны одному и тому же выражению: $2x^2 = 2x^2$.
Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б) Даны функции $f(x) = x^{\frac{2}{3}}$ и $g(x) = x^{-3}$. Необходимо доказать тождество $f(27x^9) = 9(g(x))^{-2}$.

Рассмотрим левую часть равенства. Подставим $27x^9$ в функцию $f(x)$:
$f(27x^9) = (27x^9)^{\frac{2}{3}}$

Применим свойства степеней:
$f(27x^9) = 27^{\frac{2}{3}} \cdot (x^9)^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{27})^2 \cdot x^{9 \cdot \frac{2}{3}} = 3^2 \cdot x^6 = 9x^6$.

Теперь рассмотрим правую часть равенства, используя определение $g(x)$:
$9(g(x))^{-2} = 9(x^{-3})^{-2}$

По свойству степени получаем:
$9(x^{-3})^{-2} = 9 \cdot x^{(-3) \cdot (-2)} = 9x^6$.

Левая и правая части равны: $9x^6 = 9x^6$.
Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

9.24. Найдите производную заданной функции:

a) $y = x^8;$

б) $y = \sqrt[4]{x^5};$

в) $y = x^{-4};$

г) $y = x^{\frac{7}{2}}.$

Для нахождения производной во всех случаях используется формула производной степенной функции: $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$.

а) Дана функция $y = x^8$.

Применяем формулу производной степенной функции, где показатель степени $n=8$.

$y' = (x^8)' = 8 \cdot x^{8-1} = 8x^7$.

Ответ: $y' = 8x^7$.

б) Дана функция $y = \sqrt[4]{x^5}$.

Сначала представим функцию в виде степени с рациональным показателем, используя свойство $\sqrt[m]{a^k} = a^{\frac{k}{m}}$:

$y = x^{\frac{5}{4}}$.

Теперь находим производную, где $n = \frac{5}{4}$:

$y' = (x^{\frac{5}{4}})' = \frac{5}{4} \cdot x^{\frac{5}{4} - 1} = \frac{5}{4} \cdot x^{\frac{5}{4} - \frac{4}{4}} = \frac{5}{4}x^{\frac{1}{4}}$.

Результат также можно записать в виде корня: $y' = \frac{5}{4}\sqrt[4]{x}$.

Ответ: $y' = \frac{5}{4}x^{\frac{1}{4}}$.

в) Дана функция $y = x^{-4}$.

Применяем формулу производной степенной функции, где показатель степени $n = -4$.

$y' = (x^{-4})' = -4 \cdot x^{-4-1} = -4x^{-5}$.

Результат можно также представить в виде дроби: $y' = -\frac{4}{x^5}$.

Ответ: $y' = -4x^{-5}$.

г) Дана функция $y = x^{\frac{7}{2}}$.

Применяем формулу производной степенной функции, где показатель степени $n = \frac{7}{2}$.

$y' = (x^{\frac{7}{2}})' = \frac{7}{2} \cdot x^{\frac{7}{2} - 1} = \frac{7}{2} \cdot x^{\frac{7}{2} - \frac{2}{2}} = \frac{7}{2}x^{\frac{5}{2}}$.

Результат также можно записать с использованием корня: $y' = \frac{7}{2}\sqrt{x^5}$ или $y' = \frac{7}{2}x^2\sqrt{x}$.

Ответ: $y' = \frac{7}{2}x^{\frac{5}{2}}$.