Страница 58, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

10.7. Пусть $z = \cos 8^\circ + i \sin 8^\circ$. Найдите наименьшее натуральное значение $n$, для которого:

а) $z^n$ принадлежит третьей координатной четверти комплексной плоскости;

б) $(\bar{z})^n$ принадлежит третьей координатной четверти;

в) $z^n$ принадлежит четвёртой координатной четверти;

г) $(\bar{z})^n$ принадлежит первой координатной четверти.

Комплексное число $z$ задано в тригонометрической форме: $z = \cos 8^\circ + i \sin 8^\circ$. Его модуль $|z|=1$, а аргумент $\arg(z) = 8^\circ$. Для возведения комплексного числа в натуральную степень $n$ применяется формула Муавра: $z^n = (\cos \varphi + i \sin \varphi)^n = \cos(n\varphi) + i \sin(n\varphi)$. Таким образом, $z^n = \cos(n \cdot 8^\circ) + i \sin(n \cdot 8^\circ)$, и аргумент числа $z^n$ равен $\arg(z^n) = n \cdot 8^\circ$.

Комплексно-сопряженное число к $z$ есть $\bar{z} = \cos 8^\circ - i \sin 8^\circ = \cos(-8^\circ) + i \sin(-8^\circ)$. Его аргумент $\arg(\bar{z}) = -8^\circ$. Тогда $(\bar{z})^n = \cos(-n \cdot 8^\circ) + i \sin(-n \cdot 8^\circ)$, и аргумент числа $(\bar{z})^n$ равен $\arg((\bar{z})^n) = -n \cdot 8^\circ$.

Расположение числа на комплексной плоскости определяется его аргументом $\alpha$. Для координатных четвертей действуют следующие условия (где $k$ — целое число):

• I четверть: $360^\circ \cdot k < \alpha < 90^\circ + 360^\circ \cdot k$

• II четверть: $90^\circ + 360^\circ \cdot k < \alpha < 180^\circ + 360^\circ \cdot k$

• III четверть: $180^\circ + 360^\circ \cdot k < \alpha < 270^\circ + 360^\circ \cdot k$

• IV четверть: $270^\circ + 360^\circ \cdot k < \alpha < 360^\circ + 360^\circ \cdot k$

а) $z^n$ принадлежит третьей координатной четверти комплексной плоскости;

Для того чтобы число $z^n$ принадлежало третьей координатной четверти, его аргумент $\arg(z^n) = 8n^\circ$ должен находиться в интервале $(180^\circ, 270^\circ)$. Мы ищем наименьшее натуральное $n$, поэтому рассмотрим случай $k=0$ в общей формуле для III четверти.

Получаем двойное неравенство: $180^\circ < 8n^\circ < 270^\circ$.

Разделим все части неравенства на 8: $\frac{180}{8} < n < \frac{270}{8}$, что равносильно $22.5 < n < 33.75$.

Поскольку $n$ должно быть натуральным числом, наименьшее значение $n$, удовлетворяющее этому условию, равно 23. Проверка: при $n=23$ аргумент равен $8^\circ \cdot 23 = 184^\circ$, что действительно находится в интервале $(180^\circ, 270^\circ)$.

Ответ: 23

б) $(\bar{z})^n$ принадлежит третьей координатной четверти;

Аргумент числа $(\bar{z})^n$ равен $\arg((\bar{z})^n) = -8n^\circ$. Для принадлежности третьей четверти этот угол должен удовлетворять условию: $180^\circ + 360^\circ k < -8n^\circ < 270^\circ + 360^\circ k$.

Так как $n>0$, то $-8n^\circ$ — отрицательный угол. Чтобы найти наименьшее натуральное $n$, выберем $k=-1$, чтобы получить отрицательные границы интервала, близкие к нулю: $180^\circ - 360^\circ < -8n^\circ < 270^\circ - 360^\circ$, то есть $-180^\circ < -8n^\circ < -90^\circ$.

Умножим все части на -1, изменив знаки неравенства на противоположные: $90^\circ < 8n^\circ < 180^\circ$.

Разделим на 8: $\frac{90}{8} < n < \frac{180}{8}$, что равносильно $11.25 < n < 22.5$.

Наименьшее натуральное число $n$ из этого интервала равно 12. Проверка: при $n=12$ аргумент равен $-8^\circ \cdot 12 = -96^\circ$. Этот угол соответствует углу $-96^\circ + 360^\circ = 264^\circ$, который лежит в третьей четверти.

Ответ: 12

в) $z^n$ принадлежит четвёртой координатной четверти;

Аргумент $z^n$ должен быть в интервале $(270^\circ, 360^\circ)$ (при $k=0$). $270^\circ < 8n^\circ < 360^\circ$.

Разделим на 8: $\frac{270}{8} < n < \frac{360}{8}$, что равносильно $33.75 < n < 45$.

Наименьшее натуральное число $n$, удовлетворяющее этому неравенству, равно 34. Проверка: при $n=34$ аргумент равен $8^\circ \cdot 34 = 272^\circ$, что находится в интервале $(270^\circ, 360^\circ)$.

Ответ: 34

г) $(\bar{z})^n$ принадлежит первой координатной четверти.

Аргумент $(\bar{z})^n$ равен $-8n^\circ$. Для принадлежности первой четверти он должен быть в интервале $(0^\circ, 90^\circ)$ с учетом полных оборотов, то есть $360^\circ k < -8n^\circ < 90^\circ + 360^\circ k$.

Выберем $k=-1$, чтобы получить отрицательные углы: $-360^\circ < -8n^\circ < 90^\circ - 360^\circ$, то есть $-360^\circ < -8n^\circ < -270^\circ$.

Умножим на -1 и сменим знаки неравенства: $270^\circ < 8n^\circ < 360^\circ$.

Разделим на 8: $\frac{270}{8} < n < \frac{360}{8}$, что равносильно $33.75 < n < 45$.

Наименьшее натуральное число $n$ из этого диапазона равно 34. Проверка: при $n=34$ аргумент равен $-8^\circ \cdot 34 = -272^\circ$. Этот угол соответствует углу $-272^\circ + 360^\circ = 88^\circ$, который лежит в первой четверти.

Ответ: 34

10.8. Решите уравнение:

а) $z^2 - 10z + 29 = 0;$

б) $iz^2 - 10z - 29i = 0;$

в) $z^2 + 30z + 241 = 0;$

г) $z^2 + 30iz + 31 = 0.$

а) Решаем уравнение $z^2 - 10z + 29 = 0$.
Это квадратное уравнение вида $az^2 + bz + c = 0$ с коэффициентами $a=1$, $b=-10$, $c=29$.
Для его решения используем формулу корней квадратного уравнения: $z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$ — дискриминант.
Вычислим дискриминант:
$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 29 = 100 - 116 = -16$.
Так как дискриминант отрицательный, корни уравнения являются комплексными числами.
$\sqrt{D} = \sqrt{-16} = \sqrt{16 \cdot (-1)} = 4i$.
Теперь найдем корни уравнения:
$z = \frac{-(-10) \pm 4i}{2 \cdot 1} = \frac{10 \pm 4i}{2} = 5 \pm 2i$.
Таким образом, корни уравнения: $z_1 = 5 + 2i$ и $z_2 = 5 - 2i$.
Ответ: $5 + 2i; 5 - 2i$.

б) Решаем уравнение $iz^2 - 10z - 29i = 0$.
Это квадратное уравнение с комплексным коэффициентом при $z^2$. Чтобы упростить решение, умножим обе части уравнения на $-i$:
$(-i)(iz^2 - 10z - 29i) = (-i) \cdot 0$
$-i^2z^2 + 10iz + 29i^2 = 0$
Так как $i^2 = -1$, уравнение принимает вид:
$-(-1)z^2 + 10iz - 29 = 0$
$z^2 + 10iz - 29 = 0$.
Теперь у нас есть приведенное квадратное уравнение с коэффициентами $a=1$, $b=10i$, $c=-29$.
Вычислим дискриминант:
$D = (10i)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-29) = 100i^2 + 116 = -100 + 116 = 16$.
$\sqrt{D} = \sqrt{16} = 4$.
Найдем корни уравнения:
$z = \frac{-10i \pm 4}{2 \cdot 1} = -5i \pm 2$.
Таким образом, корни уравнения: $z_1 = 2 - 5i$ и $z_2 = -2 - 5i$.
Ответ: $2 - 5i; -2 - 5i$.

в) Решаем уравнение $z^2 + 30z + 241 = 0$.
Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=1$, $b=30$, $c=241$.
Вычислим дискриминант:
$D = 30^2 - 4 \cdot 1 \cdot 241 = 900 - 964 = -64$.
$\sqrt{D} = \sqrt{-64} = \sqrt{64 \cdot (-1)} = 8i$.
Найдем корни уравнения:
$z = \frac{-30 \pm 8i}{2 \cdot 1} = \frac{-30 \pm 8i}{2} = -15 \pm 4i$.
Таким образом, корни уравнения: $z_1 = -15 + 4i$ и $z_2 = -15 - 4i$.
Ответ: $-15 + 4i; -15 - 4i$.

г) Решаем уравнение $z^2 + 30iz + 31 = 0$.
Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=1$, $b=30i$, $c=31$.
Вычислим дискриминант:
$D = (30i)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 31 = 900i^2 - 124 = -900 - 124 = -1024$.
$\sqrt{D} = \sqrt{-1024} = \sqrt{1024 \cdot (-1)} = 32i$.
Найдем корни уравнения:
$z = \frac{-30i \pm 32i}{2 \cdot 1} = \frac{-30i \pm 32i}{2}$.
Рассчитаем каждый корень отдельно:
$z_1 = \frac{-30i + 32i}{2} = \frac{2i}{2} = i$.
$z_2 = \frac{-30i - 32i}{2} = \frac{-62i}{2} = -31i$.
Ответ: $i; -31i$.

10.9. Вычислите:

а) $(\cos 20^\circ + i \sin 20^\circ)^9;$

б) $(\cos 20^\circ + i \sin 20^\circ)^{-3};$

в) $(\cos 3^\circ - i \sin 3^\circ)^{-40};$

г) $(\cos 5^\circ - i \sin 5^\circ)^{24}.$

Для решения данных задач используется формула Муавра для возведения комплексного числа в тригонометрической форме в степень:

$(\cos \varphi + i \sin \varphi)^n = \cos(n\varphi) + i \sin(n\varphi)$

Также используются свойства четности косинуса и нечетности синуса:

$\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$

$\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$

Из этих свойств следует, что $\cos \varphi - i \sin \varphi = \cos(-\varphi) + i \sin(-\varphi)$.

а) $(\cos 20^\circ + i \sin 20^\circ)^9$

Применяем формулу Муавра, где $\varphi = 20^\circ$ и $n = 9$:

$(\cos 20^\circ + i \sin 20^\circ)^9 = \cos(9 \cdot 20^\circ) + i \sin(9 \cdot 20^\circ) = \cos(180^\circ) + i \sin(180^\circ)$

Зная значения косинуса и синуса для $180^\circ$:

$\cos(180^\circ) = -1$

$\sin(180^\circ) = 0$

Получаем:

$-1 + i \cdot 0 = -1$

Ответ: $-1$.

б) $(\cos 20^\circ + i \sin 20^\circ)^{-3}$

Применяем формулу Муавра, где $\varphi = 20^\circ$ и $n = -3$:

$(\cos 20^\circ + i \sin 20^\circ)^{-3} = \cos(-3 \cdot 20^\circ) + i \sin(-3 \cdot 20^\circ) = \cos(-60^\circ) + i \sin(-60^\circ)$

Используя свойства четности и нечетности тригонометрических функций:

$\cos(-60^\circ) + i \sin(-60^\circ) = \cos(60^\circ) - i \sin(60^\circ)$

Зная значения косинуса и синуса для $60^\circ$:

$\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$

$\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Получаем:

$\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}$.

в) $(\cos 3^\circ - i \sin 3^\circ)^{-40}$

Сначала преобразуем выражение в скобках, используя свойство нечетности синуса:

$\cos 3^\circ - i \sin 3^\circ = \cos(-3^\circ) + i \sin(-3^\circ)$

Теперь применяем формулу Муавра, где $\varphi = -3^\circ$ и $n = -40$:

$(\cos(-3^\circ) + i \sin(-3^\circ))^{-40} = \cos(-40 \cdot (-3^\circ)) + i \sin(-40 \cdot (-3^\circ)) = \cos(120^\circ) + i \sin(120^\circ)$

Зная значения косинуса и синуса для $120^\circ$:

$\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$

$\sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Получаем:

$-\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}$.

г) $(\cos 5^\circ - i \sin 5^\circ)^{24}$

Сначала преобразуем выражение в скобках:

$\cos 5^\circ - i \sin 5^\circ = \cos(-5^\circ) + i \sin(-5^\circ)$

Теперь применяем формулу Муавра, где $\varphi = -5^\circ$ и $n = 24$:

$(\cos(-5^\circ) + i \sin(-5^\circ))^{24} = \cos(24 \cdot (-5^\circ)) + i \sin(24 \cdot (-5^\circ)) = \cos(-120^\circ) + i \sin(-120^\circ)$

Используя свойства четности и нечетности тригонометрических функций:

$\cos(-120^\circ) + i \sin(-120^\circ) = \cos(120^\circ) - i \sin(120^\circ)$

Зная значения косинуса и синуса для $120^\circ$:

$\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$

$\sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Получаем:

$-\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}$.

10.10. Пусть ${z, z^2, z^3, \dots, z^n, z^{n+1}, \dots}$ – геометрическая про-грессия со знаменателем $z = \cos 0.1\pi - i \sin 0.1\pi$.

а) Укажите наименьшее натуральное значение $n$, при ко-тором $z^n$ лежит в третьей координатной четверти ком-плексной плоскости (не на координатных осях).

б) Укажите наименьшее натуральное значение $n$, при ко-тором $z^n$ лежит во второй координатной четверти (не на координатных осях).

в) Сколько в этой прогрессии различных чисел?

г) Найдите сумму этих различных чисел.

а)

Запишем комплексное число $z$ в тригонометрической форме. Дано $z = \cos(0,1\pi) - i \sin(0,1\pi)$. Используя свойства четности косинуса и нечетности синуса, получаем: $z = \cos(-0,1\pi) + i \sin(-0,1\pi)$. Это тригонометрическая форма комплексного числа с модулем $r = |z| = 1$ и аргументом $\arg(z) = -0,1\pi$.

Для нахождения $z^n$ воспользуемся формулой Муавра: $z^n = (\cos(-0,1\pi) + i \sin(-0,1\pi))^n = \cos(-0,1n\pi) + i \sin(-0,1n\pi)$. Аргумент числа $z^n$ равен $\arg(z^n) = -0,1n\pi$.

Комплексное число находится в третьей координатной четверти, если его аргумент $\theta$ удовлетворяет неравенству $\pi + 2\pi k < \theta < \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$ для некоторого целого $k$. Так как аргумент $-0,1n\pi$ является отрицательным для натурального $n$, удобно выбрать $k = -1$, что дает интервал $(-\pi, -\frac{\pi}{2})$. Итак, ищем наименьшее натуральное $n$, для которого выполняется двойное неравенство: $-\pi < -0,1n\pi < -\frac{\pi}{2}$. Условие, что число не лежит на координатных осях, означает, что неравенства строгие.

Разделим все части неравенства на $-\pi$, изменив знаки неравенства на противоположные: $1 > 0,1n > \frac{1}{2}$. Или, что то же самое: $0,5 < 0,1n < 1$. Умножим все части на 10: $5 < n < 10$.

Целые значения $n$, удовлетворяющие этому неравенству, — это 6, 7, 8, 9. Наименьшее из них — 6.

Ответ: $n=6$.

б)

Комплексное число находится во второй координатной четверти, если его аргумент $\theta$ удовлетворяет неравенству $\frac{\pi}{2} + 2\pi k < \theta < \pi + 2\pi k$ для некоторого целого $k$. Для отрицательного аргумента $-0,1n\pi$ выберем $k = -1$, что дает интервал $(-\frac{3\pi}{2}, -\pi)$. Ищем наименьшее натуральное $n$, для которого выполняется неравенство: $-\frac{3\pi}{2} < -0,1n\pi < -\pi$.

Разделим все части неравенства на $-\pi$, изменив знаки неравенства: $\frac{3}{2} > 0,1n > 1$. Или: $1 < 0,1n < 1,5$. Умножим все части на 10: $10 < n < 15$.

Целые значения $n$, удовлетворяющие этому неравенству, — это 11, 12, 13, 14. Наименьшее из них — 11.

Ответ: $n=11$.

в)

Члены прогрессии $z^n$ начнут повторяться, когда для некоторого натурального $k$ выполнится условие $z^k = 1$. $z^k = \cos(-0,1k\pi) + i \sin(-0,1k\pi) = 1$. Это равенство справедливо, когда аргумент $-0,1k\pi$ является целым кратным $2\pi$: $-0,1k\pi = 2\pi m$ для некоторого целого $m$. $-0,1k = 2m$ $k = -20m$.

Мы ищем наименьшее натуральное значение $k$. Оно достигается при $m = -1$: $k = -20(-1) = 20$. Таким образом, $z^{20} = 1$, и последовательность степеней $z$ периодична с периодом 20. Числа $z^1, z^2, \dots, z^{19}, z^{20}$ являются различными, так как если бы $z^a = z^b$ для $1 \le a < b \le 20$, то $z^{b-a} = 1$, где $1 \le b-a \le 19$, что противоречит тому, что 20 — наименьшая такая степень. Следовательно, в прогрессии всего 20 различных чисел.

Ответ: 20.

г)

Нужно найти сумму всех различных членов прогрессии. Это сумма $S = z^1 + z^2 + \dots + z^{20}$. Эта сумма представляет собой сумму первых 20 членов геометрической прогрессии с первым членом $b_1 = z$ и знаменателем $q = z$. Воспользуемся формулой суммы геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q-1}$.

В нашем случае $n=20$, $b_1 = z$, $q=z$. $S = \frac{z(z^{20} - 1)}{z-1}$. Из пункта в) мы знаем, что $z^{20} = 1$. Также, $z = \cos(-0,1\pi) + i \sin(-0,1\pi) \neq 1$, поэтому знаменатель $z-1 \neq 0$. Подставим значение $z^{20}$ в формулу: $S = \frac{z(1 - 1)}{z-1} = \frac{z \cdot 0}{z-1} = 0$.

Ответ: 0.

Вычислите корни (в алгебраической форме), изобразите их на комплексной плоскости; найдите сумму и произведение вычисленных корней:

10.11. а) $\sqrt{i}$;

б) $\sqrt{-i}$;

в) $\sqrt{1-i}$;

г) $\sqrt{i-10}$.

а) $\sqrt{i}$

Для вычисления корней из комплексного числа $z=i$ представим его в тригонометрической форме. Модуль числа $|z| = |i| = 1$. Аргумент $\phi = \arg(i) = \frac{\pi}{2}$. Таким образом, $z = 1 \cdot (\cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2}))$.

Квадратные корни $w_k$ находятся по формуле Муавра для корней $n$-й степени при $n=2$:

$w_k = \sqrt[n]{|z|} \left( \cos\frac{\phi+2\pi k}{n} + i\sin\frac{\phi+2\pi k}{n} \right)$, где $k = 0, 1$.

Для $k=0$:

$w_0 = \sqrt{1} \left( \cos\frac{\pi/2}{2} + i\sin\frac{\pi/2}{2} \right) = \cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Для $k=1$:

$w_1 = \sqrt{1} \left( \cos\frac{\pi/2+2\pi}{2} + i\sin\frac{\pi/2+2\pi}{2} \right) = \cos(\frac{5\pi}{4}) + i\sin(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Изображение на комплексной плоскости:

Корни $w_0 = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $w_1 = -\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}$ лежат на окружности единичного радиуса с центром в начале координат. Точка, соответствующая $w_0$, расположена в первом квадранте, а точка, соответствующая $w_1$, — в третьем квадранте, симметрично $w_0$ относительно начала координат.

Сумма и произведение корней:

Сумма: $S = w_0 + w_1 = (\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}) + (-\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}) = 0$.

Произведение: $P = w_0 \cdot w_1 = (\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}) = -(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = -(\frac{2}{4} + 2i\frac{2}{4} - \frac{2}{4}) = -i$.

Ответ: Корни: $\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $-\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}$. Сумма корней равна $0$. Произведение корней равно $-i$.

б) $\sqrt{-i}$

Представим число $z=-i$ в тригонометрической форме. Модуль $|z|=|-i|=1$. Аргумент $\phi = \arg(-i) = -\frac{\pi}{2}$. Таким образом, $z = 1 \cdot (\cos(-\frac{\pi}{2}) + i\sin(-\frac{\pi}{2}))$.

Используем формулу Муавра для корней при $k=0,1$:

Для $k=0$:

$w_0 = \sqrt{1} \left( \cos\frac{-\pi/2}{2} + i\sin\frac{-\pi/2}{2} \right) = \cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Для $k=1$:

$w_1 = \sqrt{1} \left( \cos\frac{-\pi/2+2\pi}{2} + i\sin\frac{-\pi/2+2\pi}{2} \right) = \cos(\frac{3\pi}{4}) + i\sin(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Изображение на комплексной плоскости:

Корни $w_0 = \frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $w_1 = -\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$ лежат на единичной окружности. Точка $w_0$ находится в четвертом квадранте, а $w_1$ — во втором, симметрично $w_0$ относительно начала координат.

Сумма и произведение корней:

Сумма: $S = w_0 + w_1 = (\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}) + (-\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}) = 0$.

Произведение: $P = w_0 \cdot w_1 = (\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}) = -(\frac{2}{4} - 2i\frac{2}{4} - \frac{2}{4}) = -(-i) = i$.

Ответ: Корни: $\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $-\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$. Сумма корней равна $0$. Произведение корней равно $i$.

в) $\sqrt{1-i}$

Будем искать корни в алгебраической форме. Пусть $\sqrt{1-i} = x+yi$. Тогда $(x+yi)^2 = 1-i$, что дает систему уравнений:

$\begin{cases} x^2-y^2 = 1 \\ 2xy = -1 \end{cases}$

Также из равенства модулей $|x+yi|^2 = |1-i|$ следует, что $x^2+y^2 = \sqrt{1^2+(-1)^2} = \sqrt{2}$. Решим систему:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = 1 \\ x^2 + y^2 = \sqrt{2} \end{cases}$

Складывая уравнения, получаем $2x^2 = 1+\sqrt{2} \implies x = \pm\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}$.

Вычитая первое уравнение из второго, получаем $2y^2 = \sqrt{2}-1 \implies y = \pm\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}$.

Так как $2xy = -1 < 0$, знаки $x$ и $y$ должны быть противоположными. Следовательно, корни:

$w_0 = \sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}} - i\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}$

$w_1 = -\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}} + i\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}$

Изображение на комплексной плоскости:

Модуль корней равен $\sqrt{|1-i|} = \sqrt{\sqrt{2}} = \sqrt[4]{2}$. Корни расположены на окружности радиуса $\sqrt[4]{2}$ с центром в начале координат. Корень $w_0$ находится в четвертом квадранте, а корень $w_1$ — во втором, симметрично $w_0$ относительно начала координат.

Сумма и произведение корней:

Сумма: $S = w_0 + w_1 = 0$.

Произведение: $P = w_0 \cdot w_1 = -(w_0)^2 = -(1-i) = -1+i$.

Ответ: Корни: $\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}} - i\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}$ и $-\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}} + i\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}$. Сумма корней равна $0$. Произведение корней равно $-1+i$.

г) $\sqrt{i-10}$

Будем искать корни числа $z = -10+i$ в алгебраической форме. Пусть $\sqrt{-10+i} = x+yi$. Тогда $(x+yi)^2 = -10+i$, что дает систему:

$\begin{cases} x^2-y^2 = -10 \\ 2xy = 1 \end{cases}$

Из равенства модулей $|x+yi|^2 = |-10+i|$ следует, что $x^2+y^2 = \sqrt{(-10)^2+1^2} = \sqrt{101}$. Решим систему:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = -10 \\ x^2 + y^2 = \sqrt{101} \end{cases}$

Складывая уравнения, получаем $2x^2 = \sqrt{101}-10 \implies x = \pm\sqrt{\frac{\sqrt{101}-10}{2}}$.

Вычитая первое уравнение из второго, получаем $2y^2 = \sqrt{101}+10 \implies y = \pm\sqrt{\frac{\sqrt{101}+10}{2}}$.

Так как $2xy = 1 > 0$, знаки $x$ и $y$ должны быть одинаковыми. Следовательно, корни:

$w_0 = \sqrt{\frac{\sqrt{101}-10}{2}} + i\sqrt{\frac{\sqrt{101}+10}{2}}$

$w_1 = -\sqrt{\frac{\sqrt{101}-10}{2}} - i\sqrt{\frac{\sqrt{101}+10}{2}}$

Изображение на комплексной плоскости:

Модуль корней равен $\sqrt{|-10+i|} = \sqrt{\sqrt{101}} = \sqrt[4]{101}$. Корни расположены на окружности радиуса $\sqrt[4]{101}$ с центром в начале координат. Корень $w_0$ находится в первом квадранте, а корень $w_1$ — в третьем, симметрично $w_0$ относительно начала координат.

Сумма и произведение корней:

Сумма: $S = w_0 + w_1 = 0$.

Произведение: $P = w_0 \cdot w_1 = -(w_0)^2 = -(-10+i) = 10-i$.

Ответ: Корни: $\sqrt{\frac{\sqrt{101}-10}{2}} + i\sqrt{\frac{\sqrt{101}+10}{2}}$ и $-\sqrt{\frac{\sqrt{101}-10}{2}} - i\sqrt{\frac{\sqrt{101}+10}{2}}$. Сумма корней равна $0$. Произведение корней равно $10-i$.

10.12. а) $\sqrt[3]{8}$;

б) $\sqrt[3]{-27}$;

В) $\sqrt[3]{i}$;

Г) $\sqrt[3]{-64i}$.

а) $\sqrt[3]{8}$

Чтобы найти все значения корня третьей степени из числа 8, мы ищем все комплексные числа $z$, такие что $z^3 = 8$. Для этого представим число 8 в тригонометрической форме. Модуль числа $r = |8| = 8$. Аргумент $\varphi = \arg(8) = 0$. Таким образом, $8 = 8(\cos(0) + i\sin(0))$.

Формула для извлечения корня n-ой степени из комплексного числа $w = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$ имеет вид (формула Муавра): $z_k = \sqrt[n]{r}\left(\cos\frac{\varphi + 2\pi k}{n} + i\sin\frac{\varphi + 2\pi k}{n}\right)$, где $k = 0, 1, ..., n-1$.

В нашем случае $n=3$, $r=8$, $\varphi=0$. Подставляем эти значения в формулу: $z_k = \sqrt[3]{8}\left(\cos\frac{0 + 2\pi k}{3} + i\sin\frac{0 + 2\pi k}{3}\right) = 2\left(\cos\frac{2\pi k}{3} + i\sin\frac{2\pi k}{3}\right)$, для $k=0, 1, 2$.

Вычислим значения для каждого $k$:
При $k=0$: $z_0 = 2(\cos 0 + i\sin 0) = 2(1 + 0) = 2$.
При $k=1$: $z_1 = 2\left(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}\right) = 2\left(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -1 + i\sqrt{3}$.
При $k=2$: $z_2 = 2\left(\cos\frac{4\pi}{3} + i\sin\frac{4\pi}{3}\right) = 2\left(-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -1 - i\sqrt{3}$.

Ответ: $2$; $-1 + i\sqrt{3}$; $-1 - i\sqrt{3}$.

б) $\sqrt[3]{-27}$

Ищем все комплексные числа $z$, такие что $z^3 = -27$. Представим число -27 в тригонометрической форме. Модуль числа $r = |-27| = 27$. Аргумент $\varphi = \arg(-27) = \pi$. Таким образом, $-27 = 27(\cos(\pi) + i\sin(\pi))$.

Используем формулу для корней n-ой степени с $n=3$, $r=27$, $\varphi=\pi$: $z_k = \sqrt[3]{27}\left(\cos\frac{\pi + 2\pi k}{3} + i\sin\frac{\pi + 2\pi k}{3}\right) = 3\left(\cos\frac{\pi(1+2k)}{3} + i\sin\frac{\pi(1+2k)}{3}\right)$, для $k=0, 1, 2$.

Вычислим значения для каждого $k$:
При $k=0$: $z_0 = 3\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right) = 3\left(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{3}{2} + i\frac{3\sqrt{3}}{2}$.
При $k=1$: $z_1 = 3\left(\cos\frac{3\pi}{3} + i\sin\frac{3\pi}{3}\right) = 3(\cos\pi + i\sin\pi) = 3(-1 + 0) = -3$.
При $k=2$: $z_2 = 3\left(\cos\frac{5\pi}{3} + i\sin\frac{5\pi}{3}\right) = 3\left(\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{3}{2} - i\frac{3\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $-3$; $\frac{3}{2} + i\frac{3\sqrt{3}}{2}$; $\frac{3}{2} - i\frac{3\sqrt{3}}{2}$.

в) $\sqrt[3]{i}$

Ищем все комплексные числа $z$, такие что $z^3 = i$. Представим мнимую единицу $i$ в тригонометрической форме. Модуль числа $r = |i| = \sqrt{0^2 + 1^2} = 1$. Аргумент $\varphi = \arg(i) = \frac{\pi}{2}$. Таким образом, $i = 1\left(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\right)$.

Используем формулу для корней n-ой степени с $n=3$, $r=1$, $\varphi=\frac{\pi}{2}$: $z_k = \sqrt[3]{1}\left(\cos\frac{\frac{\pi}{2} + 2\pi k}{3} + i\sin\frac{\frac{\pi}{2} + 2\pi k}{3}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}\right)$, для $k=0, 1, 2$.

Вычислим значения для каждого $k$:
При $k=0$: $z_0 = \cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}$.
При $k=1$: $z_1 = \cos\left(\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3}\right) = \cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}$.
При $k=2$: $z_2 = \cos\left(\frac{\pi}{6} + \frac{4\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{6} + \frac{4\pi}{3}\right) = \cos\frac{9\pi}{6} + i\sin\frac{9\pi}{6} = \cos\frac{3\pi}{2} + i\sin\frac{3\pi}{2} = 0 - i = -i$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}$; $-\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}$; $-i$.

г) $\sqrt[3]{-64i}$

Ищем все комплексные числа $z$, такие что $z^3 = -64i$. Представим число $-64i$ в тригонометрической форме. Модуль числа $r = |-64i| = \sqrt{0^2 + (-64)^2} = 64$. Аргумент $\varphi = \arg(-64i) = \frac{3\pi}{2}$. Таким образом, $-64i = 64\left(\cos\frac{3\pi}{2} + i\sin\frac{3\pi}{2}\right)$.

Используем формулу для корней n-ой степени с $n=3$, $r=64$, $\varphi=\frac{3\pi}{2}$: $z_k = \sqrt[3]{64}\left(\cos\frac{\frac{3\pi}{2} + 2\pi k}{3} + i\sin\frac{\frac{3\pi}{2} + 2\pi k}{3}\right) = 4\left(\cos\left(\frac{\pi}{2} + \frac{2\pi k}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{2} + \frac{2\pi k}{3}\right)\right)$, для $k=0, 1, 2$.

Вычислим значения для каждого $k$:
При $k=0$: $z_0 = 4\left(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\right) = 4(0 + i\cdot 1) = 4i$.
При $k=1$: $z_1 = 4\left(\cos\left(\frac{\pi}{2} + \frac{2\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{2} + \frac{2\pi}{3}\right)\right) = 4\left(\cos\frac{7\pi}{6} + i\sin\frac{7\pi}{6}\right) = 4\left(-\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}\right) = -2\sqrt{3} - 2i$.
При $k=2$: $z_2 = 4\left(\cos\left(\frac{\pi}{2} + \frac{4\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{2} + \frac{4\pi}{3}\right)\right) = 4\left(\cos\frac{11\pi}{6} + i\sin\frac{11\pi}{6}\right) = 4\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}\right) = 2\sqrt{3} - 2i$.

Ответ: $4i$; $-2\sqrt{3} - 2i$; $2\sqrt{3} - 2i$.

10.13. a) $\sqrt[4]{1}$;

б) $\sqrt[4]{-1}$.

а)

Требуется найти все значения корня четвертой степени из единицы в поле комплексных чисел, то есть найти все решения уравнения $z^4 = 1$.
Представим число $1$ в тригонометрической форме.
Модуль числа $r = |1| = 1$.
Аргумент числа $\phi = \arg(1) = 0$.
Таким образом, $1 = 1(\cos(0) + i\sin(0))$.
Общая формула для корней n-ой степени из комплексного числа $w = r(\cos(\phi) + i\sin(\phi))$ имеет вид:
$z_k = \sqrt[n]{r} \left( \cos\left(\frac{\phi + 2\pi k}{n}\right) + i\sin\left(\frac{\phi + 2\pi k}{n}\right) \right)$, где $k = 0, 1, 2, \dots, n-1$.
В нашем случае $n=4$, $r=1$, $\phi=0$. Подставляем эти значения в формулу:
$z_k = \sqrt[4]{1} \left( \cos\left(\frac{0 + 2\pi k}{4}\right) + i\sin\left(\frac{0 + 2\pi k}{4}\right) \right) = \cos\left(\frac{\pi k}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\pi k}{2}\right)$.
Найдем все четыре корня, подставляя значения $k$ от 0 до 3.
При $k=0$: $z_0 = \cos(0) + i\sin(0) = 1$.
При $k=1$: $z_1 = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = i$.
При $k=2$: $z_2 = \cos(\pi) + i\sin(\pi) = -1$.
При $k=3$: $z_3 = \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) + i\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -i$.
Таким образом, корнями четвертой степени из 1 являются числа $1, -1, i, -i$.

Ответ: $1, -1, i, -i$.

б)

Требуется найти все значения корня четвертой степени из минус единицы, то есть найти все решения уравнения $z^4 = -1$.
Представим число $-1$ в тригонометрической форме.
Модуль числа $r = |-1| = 1$.
Аргумент числа $\phi = \arg(-1) = \pi$.
Таким образом, $-1 = 1(\cos(\pi) + i\sin(\pi))$.
Используем общую формулу для корней n-ой степени:
$z_k = \sqrt[n]{r} \left( \cos\left(\frac{\phi + 2\pi k}{n}\right) + i\sin\left(\frac{\phi + 2\pi k}{n}\right) \right)$, где $k = 0, 1, 2, \dots, n-1$.
В нашем случае $n=4$, $r=1$, $\phi=\pi$. Подставляем эти значения в формулу:
$z_k = \sqrt[4]{1} \left( \cos\left(\frac{\pi + 2\pi k}{4}\right) + i\sin\left(\frac{\pi + 2\pi k}{4}\right) \right) = \cos\left(\frac{\pi(1+2k)}{4}\right) + i\sin\left(\frac{\pi(1+2k)}{4}\right)$.
Найдем все четыре корня, подставляя значения $k$ от 0 до 3.
При $k=0$: $z_0 = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$.
При $k=1$: $z_1 = \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$.
При $k=2$: $z_2 = \cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}$.
При $k=3$: $z_3 = \cos\left(\frac{7\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{7\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Корнями четвертой степени из -1 являются четыре комплексных числа.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}$.

10.14. Вычислите и изобразите на комплексной плоскости:

а) $ \sqrt[6]{1} $;

б) $ \sqrt[6]{-1} $;

в) $ (\sqrt[6]{1})^2 $;

г) $ (\sqrt[6]{-1})^3 $.

а) $\sqrt[6]{1}$

Для вычисления корней n-й степени из комплексного числа $z$ используется тригонометрическая форма числа $z = r(\cos\phi + i\sin\phi)$ и формула Муавра для корней:

$z_k = \sqrt[n]{r} \left( \cos\frac{\phi + 2\pi k}{n} + i \sin\frac{\phi + 2\pi k}{n} \right)$, где $k = 0, 1, 2, ..., n-1$.

В данном случае $z = 1$. Представим его в тригонометрической форме. Модуль $r = |1| = 1$, аргумент $\phi = 0$.

$1 = 1(\cos(0) + i \sin(0))$.

Находим корни 6-й степени ($n=6$):

$z_k = \sqrt[6]{1} \left( \cos\frac{0 + 2\pi k}{6} + i \sin\frac{0 + 2\pi k}{6} \right) = \cos\frac{\pi k}{3} + i \sin\frac{\pi k}{3}$, для $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$.

Вычисляем значения для каждого $k$:

$k=0: z_0 = \cos(0) + i \sin(0) = 1$

$k=1: z_1 = \cos(\frac{\pi}{3}) + i \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$

$k=2: z_2 = \cos(\frac{2\pi}{3}) + i \sin(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$

$k=3: z_3 = \cos(\pi) + i \sin(\pi) = -1$

$k=4: z_4 = \cos(\frac{4\pi}{3}) + i \sin(\frac{4\pi}{3}) = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$

$k=5: z_5 = \cos(\frac{5\pi}{3}) + i \sin(\frac{5\pi}{3}) = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$

На комплексной плоскости эти шесть корней образуют вершины правильного шестиугольника, вписанного в окружность единичного радиуса с центром в начале координат.

Ответ: $1; \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}; -1; -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

б) $\sqrt[6]{-1}$

Представим число $z = -1$ в тригонометрической форме. Модуль $r = |-1| = 1$, аргумент $\phi = \pi$.

$-1 = 1(\cos(\pi) + i \sin(\pi))$.

Находим корни 6-й степени ($n=6$):

$z_k = \sqrt[6]{1} \left( \cos\frac{\pi + 2\pi k}{6} + i \sin\frac{\pi + 2\pi k}{6} \right)$, для $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$.

Вычисляем значения для каждого $k$:

$k=0: z_0 = \cos(\frac{\pi}{6}) + i \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}$

$k=1: z_1 = \cos(\frac{3\pi}{6}) + i \sin(\frac{3\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{2}) + i \sin(\frac{\pi}{2}) = i$

$k=2: z_2 = \cos(\frac{5\pi}{6}) + i \sin(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}$

$k=3: z_3 = \cos(\frac{7\pi}{6}) + i \sin(\frac{7\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}$

$k=4: z_4 = \cos(\frac{9\pi}{6}) + i \sin(\frac{9\pi}{6}) = \cos(\frac{3\pi}{2}) + i \sin(\frac{3\pi}{2}) = -i$

$k=5: z_5 = \cos(\frac{11\pi}{6}) + i \sin(\frac{11\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}$

На комплексной плоскости эти шесть корней также образуют вершины правильного шестиугольника, вписанного в единичную окружность, но повернутого на угол $\pi/6$ относительно шестиугольника из пункта а).

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}; i; -\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}; -i; \frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}$.

в) $(\sqrt[6]{1})^2$

Данное выражение означает возведение в квадрат каждого из шести корней $\sqrt[6]{1}$, найденных в пункте а). Обозначим эти корни как $z_k = \cos\frac{\pi k}{3} + i \sin\frac{\pi k}{3}$.

Используем формулу Муавра для возведения в степень: $(z_k)^2 = \cos\frac{2\pi k}{3} + i \sin\frac{2\pi k}{3}$.

Вычисляем значения:

$k=0: (z_0)^2 = \cos(0) + i \sin(0) = 1$

$k=1: (z_1)^2 = \cos(\frac{2\pi}{3}) + i \sin(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$

$k=2: (z_2)^2 = \cos(\frac{4\pi}{3}) + i \sin(\frac{4\pi}{3}) = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$

$k=3: (z_3)^2 = \cos(2\pi) + i \sin(2\pi) = 1$

$k=4: (z_4)^2 = \cos(\frac{8\pi}{3}) + i \sin(\frac{8\pi}{3}) = \cos(\frac{2\pi}{3}) + i \sin(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$

$k=5: (z_5)^2 = \cos(\frac{10\pi}{3}) + i \sin(\frac{10\pi}{3}) = \cos(\frac{4\pi}{3}) + i \sin(\frac{4\pi}{3}) = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$

В результате получаем три уникальных значения, которые являются корнями 3-й степени из 1. На комплексной плоскости они образуют вершины правильного треугольника, вписанного в единичную окружность.

Ответ: $1; -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

г) $(\sqrt[6]{-1})^3$

Данное выражение означает возведение в куб каждого из шести корней $\sqrt[6]{-1}$, найденных в пункте б). Обозначим эти корни как $z_k = \cos\frac{\pi + 2\pi k}{6} + i \sin\frac{\pi + 2\pi k}{6}$.

Используем формулу Муавра для возведения в степень: $(z_k)^3 = \cos\frac{3(\pi + 2\pi k)}{6} + i \sin\frac{3(\pi + 2\pi k)}{6} = \cos(\frac{\pi}{2} + \pi k) + i \sin(\frac{\pi}{2} + \pi k)$.

Вычисляем значения:

$k=0: (z_0)^3 = \cos(\frac{\pi}{2}) + i \sin(\frac{\pi}{2}) = i$

$k=1: (z_1)^3 = \cos(\frac{3\pi}{2}) + i \sin(\frac{3\pi}{2}) = -i$

$k=2: (z_2)^3 = \cos(\frac{5\pi}{2}) + i \sin(\frac{5\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) + i \sin(\frac{\pi}{2}) = i$

$k=3: (z_3)^3 = \cos(\frac{7\pi}{2}) + i \sin(\frac{7\pi}{2}) = \cos(\frac{3\pi}{2}) + i \sin(\frac{3\pi}{2}) = -i$

Значения для $k=4$ и $k=5$ также будут повторяться. В результате получаем два уникальных значения, которые являются корнями 2-й степени из -1. На комплексной плоскости это точки $(0, 1)$ и $(0, -1)$ на мнимой оси.

Ответ: $i; -i$.