Страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

9.33. Найдите значение производной функции $y = g(x)$ в заданной точкe $x_0$:

а) $g(x) = x^3 - 3\sqrt{x}, x_0 = 1;$

б) $g(x) = \sqrt[3]{3x - 1}, x_0 = \frac{2}{3};$

в) $g(x) = x^{-1} + x^{-2}, x_0 = 1;$

г) $g(x) = \frac{1}{3}(5 - 2x)^{-3}, x_0 = 2.$

а) Дана функция $g(x) = x^3 - 3\sqrt{x}$ и точка $x_0 = 1$.

Сначала найдем производную функции $g(x)$. Для этого представим $\sqrt{x}$ как $x^{1/2}$ и применим правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правило разности.

$g(x) = x^3 - 3x^{1/2}$

$g'(x) = (x^3)' - (3x^{1/2})' = 3x^{3-1} - 3 \cdot \frac{1}{2}x^{1/2-1} = 3x^2 - \frac{3}{2}x^{-1/2} = 3x^2 - \frac{3}{2\sqrt{x}}$

Теперь подставим значение $x_0 = 1$ в выражение для производной:

$g'(1) = 3(1)^2 - \frac{3}{2\sqrt{1}} = 3 \cdot 1 - \frac{3}{2 \cdot 1} = 3 - \frac{3}{2} = \frac{6}{2} - \frac{3}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$

Ответ: $1.5$

б) Дана функция $g(x) = \sqrt[3]{3x - 1}$ и точка $x_0 = \frac{2}{3}$.

Представим функцию в виде $g(x) = (3x - 1)^{1/3}$. Это сложная функция, поэтому для нахождения производной будем использовать правило дифференцирования сложной функции $(f(u(x)))' = f'(u) \cdot u'(x)$.

$g'(x) = ((3x - 1)^{1/3})' = \frac{1}{3}(3x - 1)^{1/3 - 1} \cdot (3x - 1)' = \frac{1}{3}(3x - 1)^{-2/3} \cdot 3 = (3x-1)^{-2/3} = \frac{1}{(3x-1)^{2/3}}$

Теперь подставим значение $x_0 = \frac{2}{3}$ в выражение для производной:

$g'(\frac{2}{3}) = \frac{1}{(3 \cdot \frac{2}{3} - 1)^{2/3}} = \frac{1}{(2 - 1)^{2/3}} = \frac{1}{1^{2/3}} = 1$

Ответ: $1$

в) Дана функция $g(x) = x^{-1} + x^{-2}$ и точка $x_0 = 1$.

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правило суммы.

$g'(x) = (x^{-1})' + (x^{-2})' = -1 \cdot x^{-1-1} + (-2) \cdot x^{-2-1} = -x^{-2} - 2x^{-3} = -\frac{1}{x^2} - \frac{2}{x^3}$

Теперь подставим значение $x_0 = 1$ в выражение для производной:

$g'(1) = -\frac{1}{1^2} - \frac{2}{1^3} = -1 - 2 = -3$

Ответ: $-3$

г) Дана функция $g(x) = \frac{1}{3}(5 - 2x)^{-3}$ и точка $x_0 = 2$.

Это сложная функция. Для нахождения производной используем правило дифференцирования сложной функции и правило производной от произведения константы на функцию.

$g'(x) = \frac{1}{3} \cdot ( (5 - 2x)^{-3} )' = \frac{1}{3} \cdot (-3)(5 - 2x)^{-3-1} \cdot (5 - 2x)'$

$g'(x) = -(5 - 2x)^{-4} \cdot (-2) = 2(5 - 2x)^{-4} = \frac{2}{(5 - 2x)^4}$

Теперь подставим значение $x_0 = 2$ в выражение для производной:

$g'(2) = \frac{2}{(5 - 2 \cdot 2)^4} = \frac{2}{(5 - 4)^4} = \frac{2}{1^4} = 2$

Ответ: $2$

9.34. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$:

а) $f(x) = 4 - x^{-\frac{3}{4}}, x_0 = 1$;

б) $f(x) = 12x^{-\frac{1}{2}} - x, x_0 = 9$;

в) $f(x) = 2x^{\frac{2}{3}} - 1, x_0 = 8$;

г) $f(x) = x^{-3} + 6\sqrt{x}, x_0 = 1$.

а) Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной этой функции в данной точке. Формула: $k = f'(x_0)$.
Дана функция $f(x) = 4 - x^{-\frac{3}{4}}$ и точка $x_0 = 1$.
1. Найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и то, что производная константы равна нулю.
$f'(x) = (4 - x^{-\frac{3}{4}})' = (4)' - (x^{-\frac{3}{4}})' = 0 - (-\frac{3}{4})x^{-\frac{3}{4}-1} = \frac{3}{4}x^{-\frac{7}{4}}$.
2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$.
$k = f'(1) = \frac{3}{4} \cdot (1)^{-\frac{7}{4}} = \frac{3}{4} \cdot 1 = \frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{3}{4}$.

б) Угловой коэффициент касательной $k$ в точке $x_0$ равен значению производной $f'(x_0)$.
Дана функция $f(x) = 12x^{-\frac{1}{2}} - x$ и точка $x_0 = 9$.
1. Найдем производную функции $f(x)$.
$f'(x) = (12x^{-\frac{1}{2}} - x)' = 12 \cdot (-\frac{1}{2})x^{-\frac{1}{2}-1} - 1 = -6x^{-\frac{3}{2}} - 1$.
2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 9$.
$k = f'(9) = -6 \cdot (9)^{-\frac{3}{2}} - 1$.
Так как $9^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{9^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{(\sqrt{9})^3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27}$, получаем:
$k = -6 \cdot \frac{1}{27} - 1 = -\frac{6}{27} - 1 = -\frac{2}{9} - \frac{9}{9} = -\frac{11}{9}$.
Ответ: $-\frac{11}{9}$.

в) Угловой коэффициент касательной $k$ в точке $x_0$ равен значению производной $f'(x_0)$.
Дана функция $f(x) = 2x^{\frac{2}{3}} - 1$ и точка $x_0 = 8$.
1. Найдем производную функции $f(x)$.
$f'(x) = (2x^{\frac{2}{3}} - 1)' = 2 \cdot \frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1} - 0 = \frac{4}{3}x^{-\frac{1}{3}}$.
2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 8$.
$k = f'(8) = \frac{4}{3} \cdot (8)^{-\frac{1}{3}}$.
Так как $8^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{8^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{8}} = \frac{1}{2}$, получаем:
$k = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$.

г) Угловой коэффициент касательной $k$ в точке $x_0$ равен значению производной $f'(x_0)$.
Дана функция $f(x) = x^{-3} + 6\sqrt{x}$ и точка $x_0 = 1$.
1. Представим функцию в виде $f(x) = x^{-3} + 6x^{\frac{1}{2}}$ и найдем ее производную.
$f'(x) = (x^{-3} + 6x^{\frac{1}{2}})' = -3x^{-3-1} + 6 \cdot \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = -3x^{-4} + 3x^{-\frac{1}{2}}$.
2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$.
$k = f'(1) = -3(1)^{-4} + 3(1)^{-\frac{1}{2}} = -3 \cdot 1 + 3 \cdot 1 = -3 + 3 = 0$.
Ответ: $0$.

9.35. Найдите скорость изменения функции $y = h(x)$ в точке с абсциссой $x_0$:

a) $h(x) = x^{\frac{7}{3}} - (1 - 3x)^{-1}, x_0 = 0;$

б) $h(x) = \sqrt[4]{2 \sin 2x}, x_0 = \frac{\pi}{12};$

в) $h(x) = (3 - x^{-1})^2, x_0 = -1;$

г) $h(x) = \frac{\cos (x^{18} - 3\sqrt[3]{x^7} + 0,25\pi + \pi x)}{\pi}, x_0 = 0.$

Скорость изменения функции в точке $x_0$ равна значению ее производной $h'(x_0)$ в этой точке.

а) Дана функция $h(x) = x^{\frac{7}{3}} - (1 - 3x)^{-1}$ и точка $x_0 = 0$.

Найдем производную функции $h'(x)$, используя правило дифференцирования разности, степенной функции и сложной функции:

$h'(x) = (x^{\frac{7}{3}})' - ((1 - 3x)^{-1})' = \frac{7}{3}x^{\frac{7}{3}-1} - (-1)(1 - 3x)^{-1-1} \cdot (1-3x)'$

$= \frac{7}{3}x^{\frac{4}{3}} + (1 - 3x)^{-2} \cdot (-3) = \frac{7}{3}x^{\frac{4}{3}} - 3(1-3x)^{-2}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$:

$h'(0) = \frac{7}{3}(0)^{\frac{4}{3}} - 3(1 - 3 \cdot 0)^{-2} = 0 - 3(1)^{-2} = -3$.

Ответ: $-3$.

б) Дана функция $h(x) = \sqrt[4]{2 \sin 2x}$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{12}$.

Запишем функцию в виде $h(x) = (2 \sin 2x)^{\frac{1}{4}}$. Найдем ее производную, используя правило дифференцирования сложной функции:

$h'(x) = \frac{1}{4}(2 \sin 2x)^{\frac{1}{4}-1} \cdot (2 \sin 2x)' = \frac{1}{4}(2 \sin 2x)^{-\frac{3}{4}} \cdot 2 \cos 2x \cdot (2x)'$

$= \frac{1}{4}(2 \sin 2x)^{-\frac{3}{4}} \cdot 2 \cos 2x \cdot 2 = \frac{\cos 2x}{(2 \sin 2x)^{\frac{3}{4}}}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{12}$. Сначала найдем $2x_0 = 2 \cdot \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$.

$h'(\frac{\pi}{12}) = \frac{\cos(\frac{\pi}{6})}{(2 \sin(\frac{\pi}{6}))^{\frac{3}{4}}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{(2 \cdot \frac{1}{2})^{\frac{3}{4}}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1^{\frac{3}{4}}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

в) Дана функция $h(x) = (3 - x^{-1})^2$ и точка $x_0 = -1$.

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования сложной функции:

$h'(x) = 2(3 - x^{-1})^{2-1} \cdot (3 - x^{-1})' = 2(3 - x^{-1}) \cdot (-(-1)x^{-1-1}) = 2(3 - x^{-1}) \cdot x^{-2}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = -1$:

$h'(-1) = 2(3 - (-1)^{-1}) \cdot (-1)^{-2} = 2(3 - (-1)) \cdot 1 = 2(3+1) = 8$.

Ответ: $8$.

г) Дана функция $h(x) = \frac{\cos(x^{18} - 3\sqrt[3]{x^7} + 0.25\pi + \pi x)}{\pi}$ и точка $x_0 = 0$.

Запишем функцию в виде $h(x) = \frac{1}{\pi} \cos(x^{18} - 3x^{\frac{7}{3}} + \frac{\pi}{4} + \pi x)$. Найдем ее производную:

$h'(x) = \frac{1}{\pi} \cdot (-\sin(x^{18} - 3x^{\frac{7}{3}} + \frac{\pi}{4} + \pi x)) \cdot (x^{18} - 3x^{\frac{7}{3}} + \frac{\pi}{4} + \pi x)'$

$= -\frac{1}{\pi} \sin(x^{18} - 3x^{\frac{7}{3}} + \frac{\pi}{4} + \pi x) \cdot (18x^{17} - 3 \cdot \frac{7}{3}x^{\frac{4}{3}} + \pi)$

$= -\frac{1}{\pi} \sin(x^{18} - 3x^{\frac{7}{3}} + \frac{\pi}{4} + \pi x) \cdot (18x^{17} - 7x^{\frac{4}{3}} + \pi)$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$:

$h'(0) = -\frac{1}{\pi} \sin(0^{18} - 3 \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{\pi}{4} + \pi \cdot 0) \cdot (18 \cdot 0^{17} - 7 \cdot 0^{\frac{4}{3}} + \pi)$

$= -\frac{1}{\pi} \sin(\frac{\pi}{4}) \cdot \pi = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

9.36. Решите уравнение $g'(x) = 0$, если:

а) $g(x) = 2\sqrt{x} - x$;

б) $g(x) = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - \frac{12}{5}x^{\frac{5}{4}} + 2x$;

в) $g(x) = \frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} - 2x$;

Г) $g(x) = \frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} - \frac{6}{7}x^{\frac{7}{6}} - 2x$.

а) Для функции $g(x) = 2\sqrt{x} - x$ сначала найдем ее производную $g'(x)$.
Представим функцию в виде $g(x) = 2x^{1/2} - x$.
Используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, получаем:
$g'(x) = (2x^{1/2} - x)' = 2 \cdot \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} - 1 = x^{-1/2} - 1 = \frac{1}{\sqrt{x}} - 1$.
Теперь решим уравнение $g'(x) = 0$:
$\frac{1}{\sqrt{x}} - 1 = 0$
$\frac{1}{\sqrt{x}} = 1$
$\sqrt{x} = 1$
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$x = 1^2 = 1$.
Область определения исходной функции: $x \ge 0$. Область определения производной: $x > 0$. Корень $x=1$ удовлетворяет этим условиям.
Ответ: $1$.

б)Для функции $g(x) = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - \frac{12}{5}x^{\frac{5}{4}} + 2x$ найдем ее производную.
Используя правило дифференцирования степенной функции, получаем:
$g'(x) = (\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - \frac{12}{5}x^{\frac{5}{4}} + 2x)' = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2} - 1} - \frac{12}{5} \cdot \frac{5}{4}x^{\frac{5}{4} - 1} + 2$
$g'(x) = x^{\frac{1}{2}} - 3x^{\frac{1}{4}} + 2$.
Теперь решим уравнение $g'(x) = 0$:
$x^{\frac{1}{2}} - 3x^{\frac{1}{4}} + 2 = 0$.
Это уравнение является квадратным относительно $x^{\frac{1}{4}}$. Сделаем замену переменной: пусть $y = x^{\frac{1}{4}}$. Тогда $x^{\frac{1}{2}} = (x^{\frac{1}{4}})^2 = y^2$. Учитывая, что корень четной степени не может быть отрицательным, $y \ge 0$.
Получаем квадратное уравнение:
$y^2 - 3y + 2 = 0$.
По теореме Виета находим корни: $y_1 = 1$, $y_2 = 2$. Оба корня удовлетворяют условию $y \ge 0$.
Выполним обратную замену:
1) Если $y = 1$, то $x^{\frac{1}{4}} = 1$, откуда $x = 1^4 = 1$.
2) Если $y = 2$, то $x^{\frac{1}{4}} = 2$, откуда $x = 2^4 = 16$.
Ответ: $1; 16$.

в)Для функции $g(x) = \frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} - 2x$ найдем ее производную.
$g'(x) = (\frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} - 2x)' = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}x^{\frac{4}{3} - 1} - 2 = x^{\frac{1}{3}} - 2$.
Теперь решим уравнение $g'(x) = 0$:
$x^{\frac{1}{3}} - 2 = 0$
$x^{\frac{1}{3}} = 2$
$\sqrt[3]{x} = 2$
Возведем обе части уравнения в куб:
$x = 2^3 = 8$.
Ответ: $8$.

г)Для функции $g(x) = \frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} - \frac{6}{7}x^{\frac{7}{6}} - 2x$ найдем ее производную.
$g'(x) = (\frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} - \frac{6}{7}x^{\frac{7}{6}} - 2x)' = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}x^{\frac{4}{3} - 1} - \frac{6}{7} \cdot \frac{7}{6}x^{\frac{7}{6} - 1} - 2$
$g'(x) = x^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{6}} - 2$.
Теперь решим уравнение $g'(x) = 0$:
$x^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{6}} - 2 = 0$.
Это уравнение является квадратным относительно $x^{\frac{1}{6}}$. Сделаем замену переменной: пусть $y = x^{\frac{1}{6}}$. Тогда $x^{\frac{1}{3}} = (x^{\frac{1}{6}})^2 = y^2$. Учитывая, что корень четной степени не может быть отрицательным, $y \ge 0$.
Получаем квадратное уравнение:
$y^2 - y - 2 = 0$.
Решим его по теореме Виета: $y_1 = 2$, $y_2 = -1$.
Корень $y_2 = -1$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$, поэтому он является посторонним.
Остается один корень $y = 2$.
Выполним обратную замену:
$x^{\frac{1}{6}} = 2$
Возведем обе части в шестую степень:
$x = 2^6 = 64$.
Ответ: $64$.