Страница 60, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

10.20. Составьте (если возможно) многочлен четвёртой степени с действительными коэффициентами, корнями которого являются числа:

а) $z_1 = i, z_2 = i - 1, z_3 = -i, z_4 = -(1 + i);$

б) $z_1 = 2 + i, z_2 = i - 2, z_3 = 2 - i, z_4 = -(2 + i);$

в) $z_1 = 4 + 3i, z_2 = 4 - 3i, z_3 = z_4 = 2;$

г) $z_1 = -1 - 8i, z_2 = 8i, z_3 = z_4 = -10.$

Основное свойство многочленов с действительными коэффициентами заключается в том, что если комплексное число $z = a + bi$ является корнем многочлена, то и сопряженное ему число $\bar{z} = a - bi$ также является его корнем. Проверим это условие для каждого набора корней.

а) Заданные корни: $z_1 = i$, $z_2 = i - 1 = -1 + i$, $z_3 = -i$, $z_4 = -(1 + i) = -1 - i$.

Проверим наличие сопряженных пар. Корень, сопряженный к $z_1 = i$, это $\bar{z_1} = -i$, который является корнем $z_3$. Корень, сопряженный к $z_2 = -1 + i$, это $\bar{z_2} = -1 - i$, который является корнем $z_4$. Так как все комплексные недействительные корни образуют сопряженные пары, составить многочлен с действительными коэффициентами возможно.

Многочлен $P(x)$ можно найти как произведение сомножителей $(x-z_k)$:
$P(x) = (x - z_1)(x - z_3)(x - z_2)(x - z_4)$
$P(x) = (x - i)(x + i) \cdot (x - (-1 + i))(x - (-1 - i))$
$P(x) = (x^2 - i^2) \cdot ((x + 1) - i)((x + 1) + i)$
$P(x) = (x^2 + 1) \cdot ((x + 1)^2 - i^2)$
$P(x) = (x^2 + 1) \cdot (x^2 + 2x + 1 + 1)$
$P(x) = (x^2 + 1)(x^2 + 2x + 2)$
$P(x) = x^4 + 2x^3 + 2x^2 + x^2 + 2x + 2$
$P(x) = x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 2$

Ответ: $P(x) = x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 2$.

б) Заданные корни: $z_1 = 2 + i$, $z_2 = i - 2 = -2 + i$, $z_3 = 2 - i$, $z_4 = -(2 + i) = -2 - i$.

Проверим наличие сопряженных пар. Корень, сопряженный к $z_1 = 2 + i$, это $\bar{z_1} = 2 - i$, который является корнем $z_3$. Корень, сопряженный к $z_2 = -2 + i$, это $\bar{z_2} = -2 - i$, который является корнем $z_4$. Условие выполняется, составить многочлен возможно.

$P(x) = (x - (2 + i))(x - (2 - i)) \cdot (x - (-2 + i))(x - (-2 - i))$
$P(x) = ((x - 2) - i)((x - 2) + i) \cdot ((x + 2) - i)((x + 2) + i)$
$P(x) = ((x - 2)^2 - i^2) \cdot ((x + 2)^2 - i^2)$
$P(x) = (x^2 - 4x + 4 + 1) \cdot (x^2 + 4x + 4 + 1)$
$P(x) = (x^2 - 4x + 5)(x^2 + 4x + 5)$
$P(x) = ((x^2 + 5) - 4x)((x^2 + 5) + 4x)$
$P(x) = (x^2 + 5)^2 - (4x)^2$
$P(x) = x^4 + 10x^2 + 25 - 16x^2$
$P(x) = x^4 - 6x^2 + 25$

Ответ: $P(x) = x^4 - 6x^2 + 25$.

в) Заданные корни: $z_1 = 4 + 3i$, $z_2 = 4 - 3i$, $z_3 = 2$, $z_4 = 2$.

Корень, сопряженный к $z_1 = 4 + 3i$, это $\bar{z_1} = 4 - 3i$, который является корнем $z_2$. Корни $z_3=2$ и $z_4=2$ являются действительными. Условие выполняется, составить многочлен возможно.

$P(x) = (x - (4 + 3i))(x - (4 - 3i)) \cdot (x - 2)(x - 2)$
$P(x) = ((x - 4) - 3i)((x - 4) + 3i) \cdot (x - 2)^2$
$P(x) = ((x - 4)^2 - (3i)^2) \cdot (x^2 - 4x + 4)$
$P(x) = (x^2 - 8x + 16 - 9i^2) \cdot (x^2 - 4x + 4)$
$P(x) = (x^2 - 8x + 25)(x^2 - 4x + 4)$
$P(x) = x^2(x^2 - 4x + 4) - 8x(x^2 - 4x + 4) + 25(x^2 - 4x + 4)$
$P(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 - 8x^3 + 32x^2 - 32x + 25x^2 - 100x + 100$
$P(x) = x^4 - 12x^3 + 61x^2 - 132x + 100$

Ответ: $P(x) = x^4 - 12x^3 + 61x^2 - 132x + 100$.

г) Заданные корни: $z_1 = -1 - 8i$, $z_2 = 8i$, $z_3 = -10$, $z_4 = -10$.

Проверим наличие сопряженных пар. Корень, сопряженный к $z_1 = -1 - 8i$, это $\bar{z_1} = -1 + 8i$. Этого числа нет среди заданных корней. Корень, сопряженный к $z_2 = 8i$, это $\bar{z_2} = -8i$. Этого числа также нет среди заданных корней. Поскольку не все комплексные недействительные корни имеют сопряженную пару, составить многочлен с действительными коэффициентами невозможно.

Ответ: Составить такой многочлен невозможно.

Решите уравнение и изобразите его корни на комплексной плоскости:

10.21. a) $z^3 - 2z^2 + z - 2 = 0;$

б) $z^3 + 3z^2 + 5z + 15 = 0;$

в) $z^3 + 3z^2 + z - 5 = 0;$

г) $z^3 + 4z^2 - 50z + 100 = 0.$

а) $z^3 - 2z^2 + z - 2 = 0$

Сгруппируем слагаемые, чтобы разложить левую часть уравнения на множители:

$(z^3 - 2z^2) + (z - 2) = 0$

$z^2(z - 2) + 1(z - 2) = 0$

$(z^2 + 1)(z - 2) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

1) $z - 2 = 0 \implies z_1 = 2$

2) $z^2 + 1 = 0 \implies z^2 = -1 \implies z = \pm\sqrt{-1} \implies z_{2,3} = \pm i$

Таким образом, мы получили три корня: $z_1 = 2$, $z_2 = i$, $z_3 = -i$.

Изобразим эти корни на комплексной плоскости. Комплексное число $z = x + iy$ изображается точкой с координатами $(x, y)$.

Корень $z_1 = 2$ (или $2+0i$) изображается точкой с координатами $(2, 0)$ на действительной оси.

Корень $z_2 = i$ (или $0+1i$) изображается точкой с координатами $(0, 1)$ на мнимой оси.

Корень $z_3 = -i$ (или $0-1i$) изображается точкой с координатами $(0, -1)$ на мнимой оси.

Ответ: $z_1 = 2, z_2 = i, z_3 = -i$.

б) $z^3 + 3z^2 + 5z + 15 = 0$

Сгруппируем слагаемые для разложения на множители:

$(z^3 + 3z^2) + (5z + 15) = 0$

$z^2(z + 3) + 5(z + 3) = 0$

$(z^2 + 5)(z + 3) = 0$

Уравнение распадается на два:

1) $z + 3 = 0 \implies z_1 = -3$

2) $z^2 + 5 = 0 \implies z^2 = -5 \implies z = \pm\sqrt{-5} \implies z_{2,3} = \pm i\sqrt{5}$

Получаем три корня: $z_1 = -3$, $z_2 = i\sqrt{5}$, $z_3 = -i\sqrt{5}$.

Изображение корней на комплексной плоскости:

Корень $z_1 = -3$ (или $-3+0i$) изображается точкой с координатами $(-3, 0)$ на действительной оси.

Корень $z_2 = i\sqrt{5}$ (или $0+i\sqrt{5}$) изображается точкой с координатами $(0, \sqrt{5})$ на мнимой оси.

Корень $z_3 = -i\sqrt{5}$ (или $0-i\sqrt{5}$) изображается точкой с координатами $(0, -\sqrt{5})$ на мнимой оси.

Ответ: $z_1 = -3, z_2 = i\sqrt{5}, z_3 = -i\sqrt{5}$.

в) $z^3 + 3z^2 + z - 5 = 0$

Попробуем найти целый корень среди делителей свободного члена $(-5)$: $\pm1, \pm5$.

Проверим $z=1$: $1^3 + 3(1)^2 + 1 - 5 = 1 + 3 + 1 - 5 = 0$.

Значит, $z_1=1$ является корнем, а многочлен делится на $(z-1)$ без остатка. Выполнив деление многочлена в столбик, получим:

$(z^3 + 3z^2 + z - 5) : (z - 1) = z^2 + 4z + 5$.

Таким образом, уравнение можно переписать в виде:

$(z - 1)(z^2 + 4z + 5) = 0$.

Рассмотрим два случая:

1) $z - 1 = 0 \implies z_1 = 1$

2) $z^2 + 4z + 5 = 0$. Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$.

Корни находим по формуле: $z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{-4 \pm 2i}{2} = -2 \pm i$.

Отсюда $z_2 = -2 + i$ и $z_3 = -2 - i$.

Корни исходного уравнения: $z_1 = 1$, $z_2 = -2 + i$, $z_3 = -2 - i$.

Изображение корней на комплексной плоскости:

Корень $z_1 = 1$ изображается точкой $(1, 0)$ на действительной оси.

Корень $z_2 = -2 + i$ изображается точкой $(-2, 1)$.

Корень $z_3 = -2 - i$ изображается точкой $(-2, -1)$.

Ответ: $z_1 = 1, z_2 = -2 + i, z_3 = -2 - i$.

г) $z^3 + 4z^2 - 50z + 100 = 0$

Попробуем найти целый корень среди делителей свободного члена (100). Делителями являются $\pm1, \pm2, \pm4, \pm5, \pm10, \ldots$

Проверим $z=-10$: $(-10)^3 + 4(-10)^2 - 50(-10) + 100 = -1000 + 4(100) + 500 + 100 = -1000 + 400 + 500 + 100 = 0$.

Значит, $z_1=-10$ является корнем. Разделим многочлен на $(z - (-10)) = (z+10)$:

$(z^3 + 4z^2 - 50z + 100) : (z + 10) = z^2 - 6z + 10$.

Уравнение принимает вид:

$(z + 10)(z^2 - 6z + 10) = 0$.

Решим два уравнения:

1) $z + 10 = 0 \implies z_1 = -10$

2) $z^2 - 6z + 10 = 0$. Решим квадратное уравнение. Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 36 - 40 = -4$.

Корни: $z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{6 \pm 2i}{2} = 3 \pm i$.

Отсюда $z_2 = 3 + i$ и $z_3 = 3 - i$.

Корни исходного уравнения: $z_1 = -10$, $z_2 = 3 + i$, $z_3 = 3 - i$.

Изображение корней на комплексной плоскости:

Корень $z_1 = -10$ изображается точкой $(-10, 0)$ на действительной оси.

Корень $z_2 = 3 + i$ изображается точкой $(3, 1)$.

Корень $z_3 = 3 - i$ изображается точкой $(3, -1)$.

Ответ: $z_1 = -10, z_2 = 3 + i, z_3 = 3 - i$.

10.22. a) $z^4 - 1 = 0;$

б) $z^4 - 3z^3 + 6z^2 - 12z + 8 = 0;$

в) $z^4 - 5z^2 - 36 = 0;$

г) $z^4 - 5z^3 + 7z^2 - 5z + 6 = 0.$

а) $z^4 - 1 = 0$

Разложим левую часть уравнения на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ дважды:

$z^4 - 1 = (z^2)^2 - 1^2 = (z^2 - 1)(z^2 + 1) = (z - 1)(z + 1)(z^2 + 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Приравниваем каждый множитель к нулю:

1) $z - 1 = 0 \Rightarrow z_1 = 1$

2) $z + 1 = 0 \Rightarrow z_2 = -1$

3) $z^2 + 1 = 0 \Rightarrow z^2 = -1 \Rightarrow z = \pm\sqrt{-1} = \pm i$. Отсюда $z_3 = i, z_4 = -i$.

Таким образом, уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $z_1 = 1, z_2 = -1, z_3 = i, z_4 = -i$.

б) $z^4 - 3z^3 + 6z^2 - 12z + 8 = 0$

Сгруппируем слагаемые для разложения на множители. Представим $6z^2$ как $2z^2 + 4z^2$:

$z^4 - 3z^3 + 2z^2 + 4z^2 - 12z + 8 = 0$

Вынесем общие множители из первых трех и последних трех слагаемых:

$z^2(z^2 - 3z + 2) + 4(z^2 - 3z + 2) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(z^2 - 3z + 2)$ за скобки:

$(z^2 + 4)(z^2 - 3z + 2) = 0$

Получаем два уравнения:

1) $z^2 + 4 = 0 \Rightarrow z^2 = -4 \Rightarrow z = \pm\sqrt{-4} = \pm 2i$. Отсюда $z_1 = 2i, z_2 = -2i$.

2) $z^2 - 3z + 2 = 0$. Это квадратное уравнение, которое легко решается. По теореме Виета, его корни $z=1$ и $z=2$ (сумма корней равна 3, произведение равно 2). Или разложением на множители: $(z-1)(z-2) = 0$. Отсюда $z_3 = 1, z_4 = 2$.

Таким образом, уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $z_1 = 1, z_2 = 2, z_3 = 2i, z_4 = -2i$.

в) $z^4 - 5z^2 - 36 = 0$

Это биквадратное уравнение. Введем замену переменной: пусть $y = z^2$. Уравнение примет вид:

$y^2 - 5y - 36 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$ с помощью дискриминанта или по теореме Виета. Корнями являются числа $9$ и $-4$ (произведение $-36$, сумма $5$).

$y_1 = 9, y_2 = -4$.

Теперь вернемся к исходной переменной $z$:

1) $z^2 = y_1 = 9 \Rightarrow z = \pm\sqrt{9} = \pm 3$. Отсюда $z_1 = 3, z_2 = -3$.

2) $z^2 = y_2 = -4 \Rightarrow z = \pm\sqrt{-4} = \pm 2i$. Отсюда $z_3 = 2i, z_4 = -2i$.

Таким образом, уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $z_1 = 3, z_2 = -3, z_3 = 2i, z_4 = -2i$.

г) $z^4 - 5z^3 + 7z^2 - 5z + 6 = 0$

Воспользуемся теоремой о рациональных корнях многочлена с целыми коэффициентами. Возможные рациональные корни находятся среди делителей свободного члена 6: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.

Подставим $z=2$: $2^4 - 5(2^3) + 7(2^2) - 5(2) + 6 = 16 - 40 + 28 - 10 + 6 = 0$. Следовательно, $z=2$ — корень.

Подставим $z=3$: $3^4 - 5(3^3) + 7(3^2) - 5(3) + 6 = 81 - 135 + 63 - 15 + 6 = 0$. Следовательно, $z=3$ — корень.

Так как $z=2$ и $z=3$ являются корнями, многочлен делится на произведение $(z-2)(z-3) = z^2 - 5z + 6$. Выполним разложение исходного многочлена на множители, сгруппировав слагаемые:

$z^4 - 5z^3 + 6z^2 + z^2 - 5z + 6 = 0$

$z^2(z^2 - 5z + 6) + 1(z^2 - 5z + 6) = 0$

$(z^2 + 1)(z^2 - 5z + 6) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1) $z^2 + 1 = 0 \Rightarrow z^2 = -1 \Rightarrow z = \pm i$. Отсюда $z_1 = i, z_2 = -i$.

2) $z^2 - 5z + 6 = 0$. Корни этого уравнения мы уже нашли: $z_3 = 2, z_4 = 3$.

Таким образом, уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $z_1 = 2, z_2 = 3, z_3 = i, z_4 = -i$.