Номер 10.20, страница 60, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 10. Извлечение корней из комплексных чисел. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 10.20, страница 60.

10.20. Составьте (если возможно) многочлен четвёртой степени с действительными коэффициентами, корнями которого являются числа:

а) $z_1 = i, z_2 = i - 1, z_3 = -i, z_4 = -(1 + i);$

б) $z_1 = 2 + i, z_2 = i - 2, z_3 = 2 - i, z_4 = -(2 + i);$

в) $z_1 = 4 + 3i, z_2 = 4 - 3i, z_3 = z_4 = 2;$

г) $z_1 = -1 - 8i, z_2 = 8i, z_3 = z_4 = -10.$

Основное свойство многочленов с действительными коэффициентами заключается в том, что если комплексное число $z = a + bi$ является корнем многочлена, то и сопряженное ему число $\bar{z} = a - bi$ также является его корнем. Проверим это условие для каждого набора корней.

а) Заданные корни: $z_1 = i$, $z_2 = i - 1 = -1 + i$, $z_3 = -i$, $z_4 = -(1 + i) = -1 - i$.

Проверим наличие сопряженных пар. Корень, сопряженный к $z_1 = i$, это $\bar{z_1} = -i$, который является корнем $z_3$. Корень, сопряженный к $z_2 = -1 + i$, это $\bar{z_2} = -1 - i$, который является корнем $z_4$. Так как все комплексные недействительные корни образуют сопряженные пары, составить многочлен с действительными коэффициентами возможно.

Многочлен $P(x)$ можно найти как произведение сомножителей $(x-z_k)$:
$P(x) = (x - z_1)(x - z_3)(x - z_2)(x - z_4)$
$P(x) = (x - i)(x + i) \cdot (x - (-1 + i))(x - (-1 - i))$
$P(x) = (x^2 - i^2) \cdot ((x + 1) - i)((x + 1) + i)$
$P(x) = (x^2 + 1) \cdot ((x + 1)^2 - i^2)$
$P(x) = (x^2 + 1) \cdot (x^2 + 2x + 1 + 1)$
$P(x) = (x^2 + 1)(x^2 + 2x + 2)$
$P(x) = x^4 + 2x^3 + 2x^2 + x^2 + 2x + 2$
$P(x) = x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 2$

Ответ: $P(x) = x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 2$.

б) Заданные корни: $z_1 = 2 + i$, $z_2 = i - 2 = -2 + i$, $z_3 = 2 - i$, $z_4 = -(2 + i) = -2 - i$.

Проверим наличие сопряженных пар. Корень, сопряженный к $z_1 = 2 + i$, это $\bar{z_1} = 2 - i$, который является корнем $z_3$. Корень, сопряженный к $z_2 = -2 + i$, это $\bar{z_2} = -2 - i$, который является корнем $z_4$. Условие выполняется, составить многочлен возможно.

$P(x) = (x - (2 + i))(x - (2 - i)) \cdot (x - (-2 + i))(x - (-2 - i))$
$P(x) = ((x - 2) - i)((x - 2) + i) \cdot ((x + 2) - i)((x + 2) + i)$
$P(x) = ((x - 2)^2 - i^2) \cdot ((x + 2)^2 - i^2)$
$P(x) = (x^2 - 4x + 4 + 1) \cdot (x^2 + 4x + 4 + 1)$
$P(x) = (x^2 - 4x + 5)(x^2 + 4x + 5)$
$P(x) = ((x^2 + 5) - 4x)((x^2 + 5) + 4x)$
$P(x) = (x^2 + 5)^2 - (4x)^2$
$P(x) = x^4 + 10x^2 + 25 - 16x^2$
$P(x) = x^4 - 6x^2 + 25$

Ответ: $P(x) = x^4 - 6x^2 + 25$.

в) Заданные корни: $z_1 = 4 + 3i$, $z_2 = 4 - 3i$, $z_3 = 2$, $z_4 = 2$.

Корень, сопряженный к $z_1 = 4 + 3i$, это $\bar{z_1} = 4 - 3i$, который является корнем $z_2$. Корни $z_3=2$ и $z_4=2$ являются действительными. Условие выполняется, составить многочлен возможно.

$P(x) = (x - (4 + 3i))(x - (4 - 3i)) \cdot (x - 2)(x - 2)$
$P(x) = ((x - 4) - 3i)((x - 4) + 3i) \cdot (x - 2)^2$
$P(x) = ((x - 4)^2 - (3i)^2) \cdot (x^2 - 4x + 4)$
$P(x) = (x^2 - 8x + 16 - 9i^2) \cdot (x^2 - 4x + 4)$
$P(x) = (x^2 - 8x + 25)(x^2 - 4x + 4)$
$P(x) = x^2(x^2 - 4x + 4) - 8x(x^2 - 4x + 4) + 25(x^2 - 4x + 4)$
$P(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 - 8x^3 + 32x^2 - 32x + 25x^2 - 100x + 100$
$P(x) = x^4 - 12x^3 + 61x^2 - 132x + 100$

Ответ: $P(x) = x^4 - 12x^3 + 61x^2 - 132x + 100$.

г) Заданные корни: $z_1 = -1 - 8i$, $z_2 = 8i$, $z_3 = -10$, $z_4 = -10$.

Проверим наличие сопряженных пар. Корень, сопряженный к $z_1 = -1 - 8i$, это $\bar{z_1} = -1 + 8i$. Этого числа нет среди заданных корней. Корень, сопряженный к $z_2 = 8i$, это $\bar{z_2} = -8i$. Этого числа также нет среди заданных корней. Поскольку не все комплексные недействительные корни имеют сопряженную пару, составить многочлен с действительными коэффициентами невозможно.

Ответ: Составить такой многочлен невозможно.