Номер 10.17, страница 59, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 10. Извлечение корней из комплексных чисел. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 10.17, страница 59.

10.17. Составьте (если возможно) многочлен третьей степени с действительными коэффициентами, корнями которого являются числа:

а) $z_1 = 1$, $z_2 = 2 - i$, $z_3 = 2 + i$;

б) $z_1 = 0$, $z_2 = 3 + 2i$, $z_3 = 3 - 2i$;

в) $z_1 = 1$, $z_2 = 2 - i$, $z_3 = 2 + 2i$;

г) $z_1 = i$, $z_2 = 2i$, $z_3 = 3i$.

Для того чтобы многочлен с действительными коэффициентами имел комплексный (не действительный) корень $z = a + bi$, он должен также иметь и сопряженный ему корень $\bar{z} = a - bi$. Это следует из теоремы о сопряженных корнях. Многочлен третьей степени имеет ровно три корня (с учетом кратности). Для того чтобы его коэффициенты были действительными, возможны два случая:

1. Все три корня — действительные числа.
2. Один корень — действительное число, а два других — пара комплексно-сопряженных чисел.

а) $z_1 = 1, z_2 = 2 - i, z_3 = 2 + i$

В данном наборе корней один корень $z_1 = 1$ является действительным, а два других, $z_2 = 2 - i$ и $z_3 = 2 + i$, являются комплексно-сопряженными, так как $\overline{2-i} = 2+i$. Эта ситуация соответствует второму случаю, следовательно, составить такой многочлен возможно.

Составим многочлен $P(x)$, чьими корнями являются $z_1, z_2, z_3$. Для простоты выберем старший коэффициент равным 1:

$P(x) = (x - z_1)(x - z_2)(x - z_3) = (x - 1)(x - (2 - i))(x - (2 + i))$

Сначала перемножим множители с комплексно-сопряженными корнями:

$(x - (2 - i))(x - (2 + i)) = ((x - 2) + i)((x - 2) - i) = (x - 2)^2 - i^2 = (x^2 - 4x + 4) - (-1) = x^2 - 4x + 5$.

Теперь умножим полученный квадратный трехчлен на множитель $(x - 1)$:

$P(x) = (x - 1)(x^2 - 4x + 5) = x(x^2 - 4x + 5) - 1(x^2 - 4x + 5) = x^3 - 4x^2 + 5x - x^2 + 4x - 5 = x^3 - 5x^2 + 9x - 5$.

Полученный многочлен имеет действительные коэффициенты.

Ответ: да, возможно. Например, $P(x) = x^3 - 5x^2 + 9x - 5$.

б) $z_1 = 0, z_2 = 3 + 2i, z_3 = 3 - 2i$

В этом наборе корень $z_1 = 0$ является действительным, а корни $z_2 = 3 + 2i$ и $z_3 = 3 - 2i$ являются комплексно-сопряженными, так как $\overline{3+2i} = 3-2i$. Эта ситуация также соответствует второму случаю, поэтому составить такой многочлен возможно.

$P(x) = (x - 0)(x - (3 + 2i))(x - (3 - 2i)) = x((x-3)-2i)((x-3)+2i)$

Перемножим множители с комплексными корнями:

$((x-3)-2i)((x-3)+2i) = (x-3)^2 - (2i)^2 = (x^2 - 6x + 9) - 4i^2 = x^2 - 6x + 9 - 4(-1) = x^2 - 6x + 13$.

Теперь умножим на множитель $x$:

$P(x) = x(x^2 - 6x + 13) = x^3 - 6x^2 + 13x$.

Полученный многочлен имеет действительные коэффициенты.

Ответ: да, возможно. Например, $P(x) = x^3 - 6x^2 + 13x$.

в) $z_1 = 1, z_2 = 2 - i, z_3 = 2 + 2i$

В наборе корней есть действительный корень $z_1 = 1$ и два комплексных корня $z_2 = 2 - i$ и $z_3 = 2 + 2i$. Проверим, являются ли они сопряженными.

Число, сопряженное к $z_2 = 2 - i$, это $\bar{z_2} = 2 + i$. Это число не равно $z_3 = 2 + 2i$ и не является одним из корней.

Число, сопряженное к $z_3 = 2 + 2i$, это $\bar{z_3} = 2 - 2i$. Это число не равно $z_2 = 2 - i$ и не является одним из корней.

Так как в наборе корней есть комплексные корни, для которых нет сопряженных им, составить многочлен третьей степени с действительными коэффициентами невозможно.

Ответ: невозможно.

г) $z_1 = i, z_2 = 2i, z_3 = 3i$

Все три корня являются комплексными (чисто мнимыми). Для того чтобы многочлен с действительными коэффициентами имел эти корни, ему должны соответствовать и сопряженные корни.

Сопряженным к $z_1 = i$ является $\bar{z_1} = -i$.

Сопряженным к $z_2 = 2i$ является $\bar{z_2} = -2i$.

Сопряженным к $z_3 = 3i$ является $\bar{z_3} = -3i$.

Ни один из сопряженных корней ($-i, -2i, -3i$) не присутствует в заданном наборе. Так как для каждого комплексного корня в наборе отсутствует его сопряженная пара, составить многочлен третьей степени с действительными коэффициентами невозможно. (Такой многочлен должен был бы иметь 6 корней: $\pm i, \pm 2i, \pm 3i$, и его степень была бы не менее 6).

Ответ: невозможно.