Номер 11.2, страница 61, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 11. Показательная функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 11.2, страница 61.

11.2. a) $(\sqrt{5})^{3.6} \cdot (\sqrt{5})^{-1.6}$;

б) $(\sqrt[3]{2})^{4.7} \cdot (\sqrt[3]{2})^{-1.7}$;

в) $(\sqrt{7})^{-0.2} \cdot (\sqrt{7})^{-3.8}$;

г) $(\sqrt[5]{3})^{-\frac{1}{3}} \cdot (\sqrt[5]{3})^{\frac{31}{3}}$.

а) В выражении $(\sqrt{5})^{3,6} \cdot (\sqrt{5})^{-1,6}$ мы имеем произведение степеней с одинаковым основанием $\sqrt{5}$. Согласно свойству степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, мы можем сложить показатели: $3,6 + (-1,6) = 3,6 - 1,6 = 2$. Таким образом, выражение упрощается до $(\sqrt{5})^2$. Возведение квадратного корня в квадрат дает подкоренное число. Следовательно, $(\sqrt{5})^2 = 5$.
Ответ: 5

б) Для выражения $(\sqrt[3]{2})^{4,7} \cdot (\sqrt[3]{2})^{-1,7}$ применяется то же свойство умножения степеней с одинаковым основанием $\sqrt[3]{2}$. Складываем показатели степеней: $4,7 + (-1,7) = 4,7 - 1,7 = 3$. Получаем выражение $(\sqrt[3]{2})^3$. Возведение кубического корня из числа в третью степень дает само это число. Таким образом, $(\sqrt[3]{2})^3 = 2$.
Ответ: 2

в) В примере $(\sqrt{7})^{-0,2} \cdot (\sqrt{7})^{-3,8}$ основание степени равно $\sqrt{7}$. Складываем показатели: $-0,2 + (-3,8) = -4$. Выражение упрощается до $(\sqrt{7})^{-4}$. Для дальнейшего упрощения представим корень в виде степени с рациональным показателем: $\sqrt{7} = 7^{1/2}$. Тогда наше выражение примет вид $(7^{1/2})^{-4}$. По свойству возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем: $7^{\frac{1}{2} \cdot (-4)} = 7^{-2}$. Наконец, по определению степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, имеем: $7^{-2} = \frac{1}{7^2} = \frac{1}{49}$.
Ответ: $\frac{1}{49}$

г) В выражении $(\sqrt[5]{3})^{-\frac{1}{3}} \cdot (\sqrt[5]{3})^{\frac{31}{3}}$ основание степени равно $\sqrt[5]{3}$. Складываем показатели: $-\frac{1}{3} + \frac{31}{3} = \frac{-1+31}{3} = \frac{30}{3} = 10$. Выражение принимает вид $(\sqrt[5]{3})^{10}$. Представим корень пятой степени как степень с показателем $1/5$: $\sqrt[5]{3} = 3^{1/5}$. Тогда получаем $(3^{1/5})^{10}$. Используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, перемножаем показатели: $3^{\frac{1}{5} \cdot 10} = 3^2$. Вычисляем значение: $3^2 = 9$.
Ответ: 9