Номер 11.1, страница 61, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 11. Показательная функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 11.1, страница 61.

Найдите значение выражения:

11.1. а) $2^{5,3} \cdot 2^{-0,3}$;

в) $3^{6,8} \cdot 3^{-5,8}$;

б) $7^{-\frac{1}{2}} \cdot 7^{3,5}$;

г) $\left(\frac{3}{4}\right)^{3,7} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{-0,7}$.

а) Чтобы найти значение выражения $2^{5,3} \cdot 2^{-0,3}$, воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. В данном случае основание $a=2$, а показатели степеней $m=5,3$ и $n=-0,3$.

Сложим показатели степеней: $5,3 + (-0,3) = 5,3 - 0,3 = 5$.

Следовательно, исходное выражение равно $2^5$.

Вычислим значение: $2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.

Ответ: 32

б) Чтобы найти значение выражения $7^{-\frac{1}{2}} \cdot 7^{3,5}$, применим то же свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Основание $a=7$. Для сложения показателей $m=-\frac{1}{2}$ и $n=3,5$ представим $-\frac{1}{2}$ в виде десятичной дроби: $-\frac{1}{2} = -0,5$.

Сложим показатели: $-0,5 + 3,5 = 3$.

Таким образом, выражение равно $7^3$.

Вычислим значение: $7^3 = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 49 \cdot 7 = 343$.

Ответ: 343

в) Чтобы найти значение выражения $3^{6,8} \cdot 3^{-5,8}$, используем свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Основание $a=3$, показатели степеней $m=6,8$ и $n=-5,8$.

Сложим показатели: $6,8 + (-5,8) = 6,8 - 5,8 = 1$.

Исходное выражение равно $3^1$.

Любое число в первой степени равно самому себе, поэтому $3^1 = 3$.

Ответ: 3

г) Чтобы найти значение выражения $(\frac{3}{4})^{3,7} \cdot (\frac{3}{4})^{-0,7}$, воспользуемся свойством $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Основание $a=\frac{3}{4}$, показатели степеней $m=3,7$ и $n=-0,7$.

Сложим показатели: $3,7 + (-0,7) = 3,7 - 0,7 = 3$.

Получаем выражение $(\frac{3}{4})^3$.

Возведем дробь в степень, для этого нужно возвести в эту степень и числитель, и знаменатель: $(\frac{3}{4})^3 = \frac{3^3}{4^3} = \frac{27}{64}$.

Ответ: $\frac{27}{64}$