Номер 10.19, страница 59, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 10. Извлечение корней из комплексных чисел. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 10.19, страница 59.

10.19. a) Для многочлена $z^3 + az^2 + bz + c$ и его корней $z_1, z_2, z_3$ докажите, что выполняются следующие соотношения (теорема Виета): $z_1 + z_2 + z_3 = -a$, $z_1z_2 + z_2z_3 + z_3z_1 = b$, $z_1z_2z_3 = -c$.

б) Сформулируйте и докажите теорему Виета для приведённого многочлена четвёртой степени.

a)

Пусть дан многочлен третьей степени $P(z) = z^3 + az^2 + bz + c$. Если $z_1, z_2, z_3$ являются его корнями, то по следствию из основной теоремы алгебры, многочлен можно представить в виде разложения на линейные множители:
$P(z) = (z - z_1)(z - z_2)(z - z_3)$

Раскроем скобки в этом выражении. Сначала перемножим первые две скобки:
$(z - z_1)(z - z_2) = z^2 - z_1z - z_2z + z_1z_2 = z^2 - (z_1 + z_2)z + z_1z_2$

Теперь умножим полученный результат на третью скобку $(z - z_3)$:
$(z^2 - (z_1 + z_2)z + z_1z_2)(z - z_3) = z(z^2 - (z_1 + z_2)z + z_1z_2) - z_3(z^2 - (z_1 + z_2)z + z_1z_2)$
$= z^3 - (z_1 + z_2)z^2 + z_1z_2z - z_3z^2 + (z_1 + z_2)z_3z - z_1z_2z_3$

Сгруппируем слагаемые при одинаковых степенях $z$:
$z^3 - (z_1 + z_2 + z_3)z^2 + (z_1z_2 + z_1z_3 + z_2z_3)z - z_1z_2z_3$

Теперь мы имеем два тождественно равных представления одного и того же многочлена:
$z^3 + az^2 + bz + c \equiv z^3 - (z_1 + z_2 + z_3)z^2 + (z_1z_2 + z_2z_3 + z_3z_1)z - z_1z_2z_3$
Два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях переменной. Приравнивая соответствующие коэффициенты, получаем:

• при $z^2$: $a = -(z_1 + z_2 + z_3)$, откуда $z_1 + z_2 + z_3 = -a$.
• при $z$: $b = z_1z_2 + z_2z_3 + z_3z_1$.
• свободный член: $c = -z_1z_2z_3$, откуда $z_1z_2z_3 = -c$.

Таким образом, все соотношения доказаны.

Ответ: Соотношения $z_1 + z_2 + z_3 = -a$, $z_1z_2 + z_2z_3 + z_3z_1 = b$, $z_1z_2z_3 = -c$ доказаны путем раскрытия скобок в разложении многочлена по корням $(z - z_1)(z - z_2)(z - z_3)$ и приравнивания полученных коэффициентов к коэффициентам исходного многочлена $z^3 + az^2 + bz + c$.

б)

Сформулируем теорему Виета для приведённого многочлена четвёртой степени.
Пусть дан приведённый многочлен четвёртой степени $P(z) = z^4 + az^3 + bz^2 + cz + d$, и $z_1, z_2, z_3, z_4$ — его корни. Тогда справедливы следующие соотношения между корнями и коэффициентами:

• Сумма корней: $z_1 + z_2 + z_3 + z_4 = -a$.
• Сумма попарных произведений корней: $z_1z_2 + z_1z_3 + z_1z_4 + z_2z_3 + z_2z_4 + z_3z_4 = b$.
• Сумма произведений корней по три: $z_1z_2z_3 + z_1z_2z_4 + z_1z_3z_4 + z_2z_3z_4 = -c$.
• Произведение всех корней: $z_1z_2z_3z_4 = d$.

Доказательство.
Поскольку $z_1, z_2, z_3, z_4$ являются корнями многочлена $P(z)$, его можно представить в виде произведения:
$P(z) = (z - z_1)(z - z_2)(z - z_3)(z - z_4)$.

Для раскрытия скобок воспользуемся результатом из пункта а) для произведения первых трёх множителей:
$(z - z_1)(z - z_2)(z - z_3) = z^3 - (z_1 + z_2 + z_3)z^2 + (z_1z_2 + z_1z_3 + z_2z_3)z - z_1z_2z_3$.
Умножим это выражение на $(z - z_4)$:
$P(z) = (z^3 - (z_1 + z_2 + z_3)z^2 + (z_1z_2 + z_1z_3 + z_2z_3)z - z_1z_2z_3)(z - z_4)$.
Раскрыв скобки и сгруппировав члены при одинаковых степенях $z$, получим:
$P(z) = z^4 - (z_1+z_2+z_3+z_4)z^3 + (z_1z_2+z_1z_3+z_1z_4+z_2z_3+z_2z_4+z_3z_4)z^2 - (z_1z_2z_3+z_1z_2z_4+z_1z_3z_4+z_2z_3z_4)z + z_1z_2z_3z_4$.

Приравнивая коэффициенты этого разложения к коэффициентам исходного многочлена $P(z) = z^4 + az^3 + bz^2 + cz + d$, получаем:

• при $z^3$: $a = -(z_1 + z_2 + z_3 + z_4) \implies z_1 + z_2 + z_3 + z_4 = -a$.
• при $z^2$: $b = z_1z_2 + z_1z_3 + z_1z_4 + z_2z_3 + z_2z_4 + z_3z_4$.
• при $z$: $c = -(z_1z_2z_3 + z_1z_2z_4 + z_1z_3z_4 + z_2z_3z_4) \implies z_1z_2z_3 + z_1z_2z_4 + z_1z_3z_4 + z_2z_3z_4 = -c$.
• свободный член: $d = z_1z_2z_3z_4$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Теорема Виета для приведённого многочлена четвёртой степени $z^4 + az^3 + bz^2 + cz + d$ с корнями $z_1, z_2, z_3, z_4$ утверждает, что $z_1 + z_2 + z_3 + z_4 = -a$, $z_1z_2 + z_1z_3 + z_1z_4 + z_2z_3 + z_2z_4 + z_3z_4 = b$, $z_1z_2z_3 + z_1z_2z_4 + z_1z_3z_4 + z_2z_3z_4 = -c$, $z_1z_2z_3z_4 = d$. Доказательство основано на сравнении коэффициентов при одинаковых степенях $z$ в исходном многочлене и его разложении на множители $(z - z_1)(z - z_2)(z - z_3)(z - z_4)$.