Номер 10.15, страница 59, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 10. Извлечение корней из комплексных чисел. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 10.15, страница 59.

10.15. Запишите в тригонометрической форме тот из корней $\sqrt[6]{z}$, который принадлежит:

а) первой четверти; $z = -i$;

б) второй четверти; $z = 0.5(i - \sqrt{3})$;

в) второй четверти; $z = 8i$;

г) третьей четверти; $z = -13.5(i + \sqrt{3})$.

Для решения задачи воспользуемся формулой Муавра для извлечения корней из комплексного числа. Если комплексное число $z$ представлено в тригонометрической форме $z = |z|(\cos\varphi + i\sin\varphi)$, то его $n$ корней $n$-й степени $w_k$ находятся по формуле:

$w_k = \sqrt[n]{|z|} \left( \cos\left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n}\right) + i\sin\left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n}\right) \right)$, где $k = 0, 1, 2, \dots, n-1$.

В данной задаче мы ищем корни шестой степени, то есть $n=6$.

а) первой четверти; z = -i

Сначала представим число $z = -i$ в тригонометрической форме.

Алгебраическая форма числа: $z = 0 - 1 \cdot i$.Модуль числа $z$: $|z| = \sqrt{0^2 + (-1)^2} = 1$.Аргумент числа $z$: точка $(0, -1)$ на комплексной плоскости лежит на отрицательной мнимой оси, следовательно, главный аргумент $\varphi = \arg(z) = -\frac{\pi}{2}$.Тригонометрическая форма: $z = 1 \cdot \left(\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right)$.

Корни шестой степени из $z$ имеют вид:$w_k = \sqrt[6]{1} \left( \cos\left(\frac{-\pi/2 + 2\pi k}{6}\right) + i\sin\left(\frac{-\pi/2 + 2\pi k}{6}\right) \right) = \cos\left(\frac{-\pi + 4\pi k}{12}\right) + i\sin\left(\frac{-\pi + 4\pi k}{12}\right)$.Аргумент корня $w_k$ равен $\theta_k = \frac{4\pi k - \pi}{12}$.

Нам нужен корень, принадлежащий первой четверти, то есть его аргумент $\theta_k$ должен удовлетворять неравенству $0 < \theta_k < \frac{\pi}{2}$.$0 < \frac{4\pi k - \pi}{12} < \frac{\pi}{2}$.Разделим все части неравенства на $\pi$ и умножим на 12:$0 < 4k - 1 < 6$.Прибавим 1 ко всем частям:$1 < 4k < 7$.Разделим на 4:$\frac{1}{4} < k < \frac{7}{4}$.Единственное целое значение $k$ в этом интервале, при $k \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$, это $k=1$.

Подставим $k=1$ в формулу для $w_k$:$w_1 = \cos\left(\frac{4\pi \cdot 1 - \pi}{12}\right) + i\sin\left(\frac{4\pi \cdot 1 - \pi}{12}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{12}\right) + i\sin\left(\frac{3\pi}{12}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)$.

Ответ: $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)$.

б) второй четверти; z = 0,5(i - √3)

Представим число $z = 0,5(-\sqrt{3} + i) = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$ в тригонометрической форме.

Модуль числа $z$: $|z| = \sqrt{\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} = 1$.Аргумент числа $z$: так как $\cos\varphi = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin\varphi = \frac{1}{2}$, точка находится во второй четверти, и $\varphi = \arg(z) = \frac{5\pi}{6}$.Тригонометрическая форма: $z = 1 \cdot \left(\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)\right)$.

Корни шестой степени из $z$:$w_k = \cos\left(\frac{5\pi/6 + 2\pi k}{6}\right) + i\sin\left(\frac{5\pi/6 + 2\pi k}{6}\right) = \cos\left(\frac{5\pi + 12\pi k}{36}\right) + i\sin\left(\frac{5\pi + 12\pi k}{36}\right)$.Аргумент корня $\theta_k = \frac{5\pi + 12\pi k}{36}$.

Ищем корень во второй четверти, где $\frac{\pi}{2} < \theta_k < \pi$.$\frac{\pi}{2} < \frac{5\pi + 12\pi k}{36} < \pi$.$\frac{1}{2} < \frac{5 + 12k}{36} < 1$.$18 < 5 + 12k < 36$.$13 < 12k < 31$.$\frac{13}{12} < k < \frac{31}{12}$.Единственное целое значение $k$ в интервале $(1.08..., 2.58...)$ это $k=2$.

Подставляем $k=2$:$w_2 = \cos\left(\frac{5\pi + 12\pi \cdot 2}{36}\right) + i\sin\left(\frac{5\pi + 12\pi \cdot 2}{36}\right) = \cos\left(\frac{29\pi}{36}\right) + i\sin\left(\frac{29\pi}{36}\right)$.

Ответ: $\cos\left(\frac{29\pi}{36}\right) + i\sin\left(\frac{29\pi}{36}\right)$.

в) второй четверти; z = 8i

Представим $z = 8i$ в тригонометрической форме.

Модуль: $|z| = |8i| = 8$.Аргумент: точка $(0, 8)$ лежит на положительной мнимой оси, $\varphi = \arg(z) = \frac{\pi}{2}$.Тригонометрическая форма: $z = 8\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)$.

Корни шестой степени из $z$:$w_k = \sqrt[6]{8} \left( \cos\left(\frac{\pi/2 + 2\pi k}{6}\right) + i\sin\left(\frac{\pi/2 + 2\pi k}{6}\right) \right)$.$\sqrt[6]{8} = \sqrt[6]{2^3} = 2^{3/6} = 2^{1/2} = \sqrt{2}$.$w_k = \sqrt{2} \left( \cos\left(\frac{\pi + 4\pi k}{12}\right) + i\sin\left(\frac{\pi + 4\pi k}{12}\right) \right)$.Аргумент корня $\theta_k = \frac{\pi + 4\pi k}{12}$.

Ищем корень во второй четверти: $\frac{\pi}{2} < \theta_k < \pi$.$\frac{\pi}{2} < \frac{\pi + 4\pi k}{12} < \pi$.$\frac{1}{2} < \frac{1 + 4k}{12} < 1$.$6 < 1 + 4k < 12$.$5 < 4k < 11$.$\frac{5}{4} < k < \frac{11}{4}$.Единственное целое значение $k$ в интервале $(1.25, 2.75)$ это $k=2$.

Подставляем $k=2$:$w_2 = \sqrt{2} \left( \cos\left(\frac{\pi + 4\pi \cdot 2}{12}\right) + i\sin\left(\frac{\pi + 4\pi \cdot 2}{12}\right) \right) = \sqrt{2} \left( \cos\left(\frac{9\pi}{12}\right) + i\sin\left(\frac{9\pi}{12}\right) \right) = \sqrt{2} \left( \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) \right)$.

Ответ: $\sqrt{2} \left( \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) \right)$.

г) третьей четверти; z = -13,5(i + √3)

Представим $z = -13,5(\sqrt{3} + i) = -13,5\sqrt{3} - 13,5i$ в тригонометрической форме.

Модуль: $|z| = \sqrt{(-13,5\sqrt{3})^2 + (-13,5)^2} = \sqrt{13,5^2 \cdot 3 + 13,5^2} = \sqrt{13,5^2 \cdot 4} = 13,5 \cdot 2 = 27$.Аргумент: $\cos\varphi = \frac{-13,5\sqrt{3}}{27} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin\varphi = \frac{-13,5}{27} = -\frac{1}{2}$. Точка находится в третьей четверти, $\varphi = \arg(z) = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$.Тригонометрическая форма: $z = 27\left(\cos\left(\frac{7\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right)\right)$.

Корни шестой степени из $z$:$w_k = \sqrt[6]{27} \left( \cos\left(\frac{7\pi/6 + 2\pi k}{6}\right) + i\sin\left(\frac{7\pi/6 + 2\pi k}{6}\right) \right)$.$\sqrt[6]{27} = \sqrt[6]{3^3} = 3^{3/6} = 3^{1/2} = \sqrt{3}$.$w_k = \sqrt{3} \left( \cos\left(\frac{7\pi + 12\pi k}{36}\right) + i\sin\left(\frac{7\pi + 12\pi k}{36}\right) \right)$.Аргумент корня $\theta_k = \frac{7\pi + 12\pi k}{36}$.

Ищем корень в третьей четверти: $\pi < \theta_k < \frac{3\pi}{2}$.$\pi < \frac{7\pi + 12\pi k}{36} < \frac{3\pi}{2}$.$1 < \frac{7 + 12k}{36} < \frac{3}{2}$.$36 < 7 + 12k < 54$.$29 < 12k < 47$.$\frac{29}{12} < k < \frac{47}{12}$.Единственное целое значение $k$ в интервале $(2.41..., 3.91...)$ это $k=3$.

Подставляем $k=3$:$w_3 = \sqrt{3} \left( \cos\left(\frac{7\pi + 12\pi \cdot 3}{36}\right) + i\sin\left(\frac{7\pi + 12\pi \cdot 3}{36}\right) \right) = \sqrt{3} \left( \cos\left(\frac{43\pi}{36}\right) + i\sin\left(\frac{43\pi}{36}\right) \right)$.

Ответ: $\sqrt{3} \left( \cos\left(\frac{43\pi}{36}\right) + i\sin\left(\frac{43\pi}{36}\right) \right)$.