Номер 10.8, страница 58, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 10. Извлечение корней из комплексных чисел. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 10.8, страница 58.

10.8. Решите уравнение:

а) $z^2 - 10z + 29 = 0;$

б) $iz^2 - 10z - 29i = 0;$

в) $z^2 + 30z + 241 = 0;$

г) $z^2 + 30iz + 31 = 0.$

а) Решаем уравнение $z^2 - 10z + 29 = 0$.
Это квадратное уравнение вида $az^2 + bz + c = 0$ с коэффициентами $a=1$, $b=-10$, $c=29$.
Для его решения используем формулу корней квадратного уравнения: $z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$ — дискриминант.
Вычислим дискриминант:
$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 29 = 100 - 116 = -16$.
Так как дискриминант отрицательный, корни уравнения являются комплексными числами.
$\sqrt{D} = \sqrt{-16} = \sqrt{16 \cdot (-1)} = 4i$.
Теперь найдем корни уравнения:
$z = \frac{-(-10) \pm 4i}{2 \cdot 1} = \frac{10 \pm 4i}{2} = 5 \pm 2i$.
Таким образом, корни уравнения: $z_1 = 5 + 2i$ и $z_2 = 5 - 2i$.
Ответ: $5 + 2i; 5 - 2i$.

б) Решаем уравнение $iz^2 - 10z - 29i = 0$.
Это квадратное уравнение с комплексным коэффициентом при $z^2$. Чтобы упростить решение, умножим обе части уравнения на $-i$:
$(-i)(iz^2 - 10z - 29i) = (-i) \cdot 0$
$-i^2z^2 + 10iz + 29i^2 = 0$
Так как $i^2 = -1$, уравнение принимает вид:
$-(-1)z^2 + 10iz - 29 = 0$
$z^2 + 10iz - 29 = 0$.
Теперь у нас есть приведенное квадратное уравнение с коэффициентами $a=1$, $b=10i$, $c=-29$.
Вычислим дискриминант:
$D = (10i)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-29) = 100i^2 + 116 = -100 + 116 = 16$.
$\sqrt{D} = \sqrt{16} = 4$.
Найдем корни уравнения:
$z = \frac{-10i \pm 4}{2 \cdot 1} = -5i \pm 2$.
Таким образом, корни уравнения: $z_1 = 2 - 5i$ и $z_2 = -2 - 5i$.
Ответ: $2 - 5i; -2 - 5i$.

в) Решаем уравнение $z^2 + 30z + 241 = 0$.
Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=1$, $b=30$, $c=241$.
Вычислим дискриминант:
$D = 30^2 - 4 \cdot 1 \cdot 241 = 900 - 964 = -64$.
$\sqrt{D} = \sqrt{-64} = \sqrt{64 \cdot (-1)} = 8i$.
Найдем корни уравнения:
$z = \frac{-30 \pm 8i}{2 \cdot 1} = \frac{-30 \pm 8i}{2} = -15 \pm 4i$.
Таким образом, корни уравнения: $z_1 = -15 + 4i$ и $z_2 = -15 - 4i$.
Ответ: $-15 + 4i; -15 - 4i$.

г) Решаем уравнение $z^2 + 30iz + 31 = 0$.
Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=1$, $b=30i$, $c=31$.
Вычислим дискриминант:
$D = (30i)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 31 = 900i^2 - 124 = -900 - 124 = -1024$.
$\sqrt{D} = \sqrt{-1024} = \sqrt{1024 \cdot (-1)} = 32i$.
Найдем корни уравнения:
$z = \frac{-30i \pm 32i}{2 \cdot 1} = \frac{-30i \pm 32i}{2}$.
Рассчитаем каждый корень отдельно:
$z_1 = \frac{-30i + 32i}{2} = \frac{2i}{2} = i$.
$z_2 = \frac{-30i - 32i}{2} = \frac{-62i}{2} = -31i$.
Ответ: $i; -31i$.