Номер 10.9, страница 58, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 10. Извлечение корней из комплексных чисел. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 10.9, страница 58.

10.9. Вычислите:

а) $(\cos 20^\circ + i \sin 20^\circ)^9;$

б) $(\cos 20^\circ + i \sin 20^\circ)^{-3};$

в) $(\cos 3^\circ - i \sin 3^\circ)^{-40};$

г) $(\cos 5^\circ - i \sin 5^\circ)^{24}.$

Для решения данных задач используется формула Муавра для возведения комплексного числа в тригонометрической форме в степень:

$(\cos \varphi + i \sin \varphi)^n = \cos(n\varphi) + i \sin(n\varphi)$

Также используются свойства четности косинуса и нечетности синуса:

$\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$

$\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$

Из этих свойств следует, что $\cos \varphi - i \sin \varphi = \cos(-\varphi) + i \sin(-\varphi)$.

а) $(\cos 20^\circ + i \sin 20^\circ)^9$

Применяем формулу Муавра, где $\varphi = 20^\circ$ и $n = 9$:

$(\cos 20^\circ + i \sin 20^\circ)^9 = \cos(9 \cdot 20^\circ) + i \sin(9 \cdot 20^\circ) = \cos(180^\circ) + i \sin(180^\circ)$

Зная значения косинуса и синуса для $180^\circ$:

$\cos(180^\circ) = -1$

$\sin(180^\circ) = 0$

Получаем:

$-1 + i \cdot 0 = -1$

Ответ: $-1$.

б) $(\cos 20^\circ + i \sin 20^\circ)^{-3}$

Применяем формулу Муавра, где $\varphi = 20^\circ$ и $n = -3$:

$(\cos 20^\circ + i \sin 20^\circ)^{-3} = \cos(-3 \cdot 20^\circ) + i \sin(-3 \cdot 20^\circ) = \cos(-60^\circ) + i \sin(-60^\circ)$

Используя свойства четности и нечетности тригонометрических функций:

$\cos(-60^\circ) + i \sin(-60^\circ) = \cos(60^\circ) - i \sin(60^\circ)$

Зная значения косинуса и синуса для $60^\circ$:

$\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$

$\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Получаем:

$\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}$.

в) $(\cos 3^\circ - i \sin 3^\circ)^{-40}$

Сначала преобразуем выражение в скобках, используя свойство нечетности синуса:

$\cos 3^\circ - i \sin 3^\circ = \cos(-3^\circ) + i \sin(-3^\circ)$

Теперь применяем формулу Муавра, где $\varphi = -3^\circ$ и $n = -40$:

$(\cos(-3^\circ) + i \sin(-3^\circ))^{-40} = \cos(-40 \cdot (-3^\circ)) + i \sin(-40 \cdot (-3^\circ)) = \cos(120^\circ) + i \sin(120^\circ)$

Зная значения косинуса и синуса для $120^\circ$:

$\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$

$\sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Получаем:

$-\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}$.

г) $(\cos 5^\circ - i \sin 5^\circ)^{24}$

Сначала преобразуем выражение в скобках:

$\cos 5^\circ - i \sin 5^\circ = \cos(-5^\circ) + i \sin(-5^\circ)$

Теперь применяем формулу Муавра, где $\varphi = -5^\circ$ и $n = 24$:

$(\cos(-5^\circ) + i \sin(-5^\circ))^{24} = \cos(24 \cdot (-5^\circ)) + i \sin(24 \cdot (-5^\circ)) = \cos(-120^\circ) + i \sin(-120^\circ)$

Используя свойства четности и нечетности тригонометрических функций:

$\cos(-120^\circ) + i \sin(-120^\circ) = \cos(120^\circ) - i \sin(120^\circ)$

Зная значения косинуса и синуса для $120^\circ$:

$\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$

$\sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Получаем:

$-\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}$.