Номер 10.11, страница 58, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 10. Извлечение корней из комплексных чисел. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 10.11, страница 58.

Вычислите корни (в алгебраической форме), изобразите их на комплексной плоскости; найдите сумму и произведение вычисленных корней:

10.11. а) $\sqrt{i}$;

б) $\sqrt{-i}$;

в) $\sqrt{1-i}$;

г) $\sqrt{i-10}$.

а) $\sqrt{i}$

Для вычисления корней из комплексного числа $z=i$ представим его в тригонометрической форме. Модуль числа $|z| = |i| = 1$. Аргумент $\phi = \arg(i) = \frac{\pi}{2}$. Таким образом, $z = 1 \cdot (\cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2}))$.

Квадратные корни $w_k$ находятся по формуле Муавра для корней $n$-й степени при $n=2$:

$w_k = \sqrt[n]{|z|} \left( \cos\frac{\phi+2\pi k}{n} + i\sin\frac{\phi+2\pi k}{n} \right)$, где $k = 0, 1$.

Для $k=0$:

$w_0 = \sqrt{1} \left( \cos\frac{\pi/2}{2} + i\sin\frac{\pi/2}{2} \right) = \cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Для $k=1$:

$w_1 = \sqrt{1} \left( \cos\frac{\pi/2+2\pi}{2} + i\sin\frac{\pi/2+2\pi}{2} \right) = \cos(\frac{5\pi}{4}) + i\sin(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Изображение на комплексной плоскости:

Корни $w_0 = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $w_1 = -\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}$ лежат на окружности единичного радиуса с центром в начале координат. Точка, соответствующая $w_0$, расположена в первом квадранте, а точка, соответствующая $w_1$, — в третьем квадранте, симметрично $w_0$ относительно начала координат.

Сумма и произведение корней:

Сумма: $S = w_0 + w_1 = (\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}) + (-\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}) = 0$.

Произведение: $P = w_0 \cdot w_1 = (\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}) = -(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = -(\frac{2}{4} + 2i\frac{2}{4} - \frac{2}{4}) = -i$.

Ответ: Корни: $\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $-\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}$. Сумма корней равна $0$. Произведение корней равно $-i$.

б) $\sqrt{-i}$

Представим число $z=-i$ в тригонометрической форме. Модуль $|z|=|-i|=1$. Аргумент $\phi = \arg(-i) = -\frac{\pi}{2}$. Таким образом, $z = 1 \cdot (\cos(-\frac{\pi}{2}) + i\sin(-\frac{\pi}{2}))$.

Используем формулу Муавра для корней при $k=0,1$:

Для $k=0$:

$w_0 = \sqrt{1} \left( \cos\frac{-\pi/2}{2} + i\sin\frac{-\pi/2}{2} \right) = \cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Для $k=1$:

$w_1 = \sqrt{1} \left( \cos\frac{-\pi/2+2\pi}{2} + i\sin\frac{-\pi/2+2\pi}{2} \right) = \cos(\frac{3\pi}{4}) + i\sin(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Изображение на комплексной плоскости:

Корни $w_0 = \frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $w_1 = -\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$ лежат на единичной окружности. Точка $w_0$ находится в четвертом квадранте, а $w_1$ — во втором, симметрично $w_0$ относительно начала координат.

Сумма и произведение корней:

Сумма: $S = w_0 + w_1 = (\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}) + (-\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}) = 0$.

Произведение: $P = w_0 \cdot w_1 = (\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}) = -(\frac{2}{4} - 2i\frac{2}{4} - \frac{2}{4}) = -(-i) = i$.

Ответ: Корни: $\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $-\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$. Сумма корней равна $0$. Произведение корней равно $i$.

в) $\sqrt{1-i}$

Будем искать корни в алгебраической форме. Пусть $\sqrt{1-i} = x+yi$. Тогда $(x+yi)^2 = 1-i$, что дает систему уравнений:

$\begin{cases} x^2-y^2 = 1 \\ 2xy = -1 \end{cases}$

Также из равенства модулей $|x+yi|^2 = |1-i|$ следует, что $x^2+y^2 = \sqrt{1^2+(-1)^2} = \sqrt{2}$. Решим систему:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = 1 \\ x^2 + y^2 = \sqrt{2} \end{cases}$

Складывая уравнения, получаем $2x^2 = 1+\sqrt{2} \implies x = \pm\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}$.

Вычитая первое уравнение из второго, получаем $2y^2 = \sqrt{2}-1 \implies y = \pm\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}$.

Так как $2xy = -1 < 0$, знаки $x$ и $y$ должны быть противоположными. Следовательно, корни:

$w_0 = \sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}} - i\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}$

$w_1 = -\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}} + i\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}$

Изображение на комплексной плоскости:

Модуль корней равен $\sqrt{|1-i|} = \sqrt{\sqrt{2}} = \sqrt[4]{2}$. Корни расположены на окружности радиуса $\sqrt[4]{2}$ с центром в начале координат. Корень $w_0$ находится в четвертом квадранте, а корень $w_1$ — во втором, симметрично $w_0$ относительно начала координат.

Сумма и произведение корней:

Сумма: $S = w_0 + w_1 = 0$.

Произведение: $P = w_0 \cdot w_1 = -(w_0)^2 = -(1-i) = -1+i$.

Ответ: Корни: $\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}} - i\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}$ и $-\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}} + i\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}$. Сумма корней равна $0$. Произведение корней равно $-1+i$.

г) $\sqrt{i-10}$

Будем искать корни числа $z = -10+i$ в алгебраической форме. Пусть $\sqrt{-10+i} = x+yi$. Тогда $(x+yi)^2 = -10+i$, что дает систему:

$\begin{cases} x^2-y^2 = -10 \\ 2xy = 1 \end{cases}$

Из равенства модулей $|x+yi|^2 = |-10+i|$ следует, что $x^2+y^2 = \sqrt{(-10)^2+1^2} = \sqrt{101}$. Решим систему:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = -10 \\ x^2 + y^2 = \sqrt{101} \end{cases}$

Складывая уравнения, получаем $2x^2 = \sqrt{101}-10 \implies x = \pm\sqrt{\frac{\sqrt{101}-10}{2}}$.

Вычитая первое уравнение из второго, получаем $2y^2 = \sqrt{101}+10 \implies y = \pm\sqrt{\frac{\sqrt{101}+10}{2}}$.

Так как $2xy = 1 > 0$, знаки $x$ и $y$ должны быть одинаковыми. Следовательно, корни:

$w_0 = \sqrt{\frac{\sqrt{101}-10}{2}} + i\sqrt{\frac{\sqrt{101}+10}{2}}$

$w_1 = -\sqrt{\frac{\sqrt{101}-10}{2}} - i\sqrt{\frac{\sqrt{101}+10}{2}}$

Изображение на комплексной плоскости:

Модуль корней равен $\sqrt{|-10+i|} = \sqrt{\sqrt{101}} = \sqrt[4]{101}$. Корни расположены на окружности радиуса $\sqrt[4]{101}$ с центром в начале координат. Корень $w_0$ находится в первом квадранте, а корень $w_1$ — в третьем, симметрично $w_0$ относительно начала координат.

Сумма и произведение корней:

Сумма: $S = w_0 + w_1 = 0$.

Произведение: $P = w_0 \cdot w_1 = -(w_0)^2 = -(-10+i) = 10-i$.

Ответ: Корни: $\sqrt{\frac{\sqrt{101}-10}{2}} + i\sqrt{\frac{\sqrt{101}+10}{2}}$ и $-\sqrt{\frac{\sqrt{101}-10}{2}} - i\sqrt{\frac{\sqrt{101}+10}{2}}$. Сумма корней равна $0$. Произведение корней равно $10-i$.