Номер 9.39, страница 55, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 9. Степенная функция, её свойства и график. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 9.39, страница 55.

9.39. Напишите уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x = a$:

a) $y = \sqrt[3]{3x - 1}, a = 3;$

б) $y = \sqrt[3]{2 \sin x}, a = \frac{\pi}{6};$

в) $y = (2x + 5)^{-\frac{1}{2}}, a = 2;$

г) $y = \frac{1}{\sqrt{2 \cos x}}, a = \frac{\pi}{3}.$

а) Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $a$ имеет вид: $y = f(a) + f'(a)(x - a)$.
Дана функция $f(x) = \sqrt[3]{3x - 1}$ и точка $a = 3$.
1. Найдем значение функции в точке $a$:
$f(3) = \sqrt[3]{3 \cdot 3 - 1} = \sqrt[3]{9 - 1} = \sqrt[3]{8} = 2$.
2. Найдем производную функции. Для удобства представим функцию в виде степени: $f(x) = (3x - 1)^{1/3}$.
Используем правило производной сложной функции:
$f'(x) = ((3x - 1)^{1/3})' = \frac{1}{3}(3x - 1)^{\frac{1}{3}-1} \cdot (3x-1)' = \frac{1}{3}(3x - 1)^{-2/3} \cdot 3 = (3x - 1)^{-2/3} = \frac{1}{\sqrt[3]{(3x - 1)^2}}$.
3. Найдем значение производной в точке $a$:
$f'(3) = \frac{1}{\sqrt[3]{(3 \cdot 3 - 1)^2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{8^2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{64}} = \frac{1}{4}$.
4. Подставим найденные значения $f(a) = 2$, $f'(a) = \frac{1}{4}$ и $a = 3$ в уравнение касательной:
$y = 2 + \frac{1}{4}(x - 3)$.
Преобразуем уравнение:
$y = 2 + \frac{1}{4}x - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}x + \frac{8 - 3}{4} = \frac{1}{4}x + \frac{5}{4}$.
Ответ: $y = \frac{1}{4}x + \frac{5}{4}$.

б) Уравнение касательной: $y = f(a) + f'(a)(x - a)$.
Дана функция $f(x) = \sqrt[3]{2 \sin x}$ и точка $a = \frac{\pi}{6}$.
1. Найдем значение функции в точке $a$:
$f(\frac{\pi}{6}) = \sqrt[3]{2 \sin\frac{\pi}{6}} = \sqrt[3]{2 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt[3]{1} = 1$.
2. Найдем производную функции $f(x) = (2 \sin x)^{1/3}$:
$f'(x) = ((2 \sin x)^{1/3})' = \frac{1}{3}(2 \sin x)^{-2/3} \cdot (2 \sin x)' = \frac{1}{3}(2 \sin x)^{-2/3} \cdot 2 \cos x = \frac{2 \cos x}{3\sqrt[3]{(2 \sin x)^2}}$.
3. Найдем значение производной в точке $a$:
$f'(\frac{\pi}{6}) = \frac{2 \cos\frac{\pi}{6}}{3\sqrt[3]{(2 \sin\frac{\pi}{6})^2}} = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{3\sqrt[3]{(2 \cdot \frac{1}{2})^2}} = \frac{\sqrt{3}}{3\sqrt[3]{1^2}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
4. Подставим найденные значения $f(a) = 1$, $f'(a) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ и $a = \frac{\pi}{6}$ в уравнение касательной:
$y = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}(x - \frac{\pi}{6})$.
Преобразуем уравнение:
$y = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}x - \frac{\sqrt{3}\pi}{18}$.
Ответ: $y = \frac{\sqrt{3}}{3}x + 1 - \frac{\sqrt{3}\pi}{18}$.

в) Уравнение касательной: $y = f(a) + f'(a)(x - a)$.
Дана функция $f(x) = (2x + 5)^{-1/2}$ и точка $a = 2$.
1. Найдем значение функции в точке $a$:
$f(2) = (2 \cdot 2 + 5)^{-1/2} = 9^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{9}} = \frac{1}{3}$.
2. Найдем производную функции:
$f'(x) = ((2x + 5)^{-1/2})' = -\frac{1}{2}(2x + 5)^{-\frac{1}{2}-1} \cdot (2x+5)' = -\frac{1}{2}(2x + 5)^{-3/2} \cdot 2 = -(2x + 5)^{-3/2} = -\frac{1}{\sqrt{(2x+5)^3}}$.
3. Найдем значение производной в точке $a$:
$f'(2) = -(2 \cdot 2 + 5)^{-3/2} = -9^{-3/2} = -\frac{1}{9^{3/2}} = -\frac{1}{(\sqrt{9})^3} = -\frac{1}{3^3} = -\frac{1}{27}$.
4. Подставим найденные значения $f(a) = \frac{1}{3}$, $f'(a) = -\frac{1}{27}$ и $a = 2$ в уравнение касательной:
$y = \frac{1}{3} + (-\frac{1}{27})(x - 2) = \frac{1}{3} - \frac{1}{27}x + \frac{2}{27}$.
Преобразуем уравнение:
$y = -\frac{1}{27}x + \frac{9}{27} + \frac{2}{27} = -\frac{1}{27}x + \frac{11}{27}$.
Ответ: $y = -\frac{1}{27}x + \frac{11}{27}$.

г) Уравнение касательной: $y = f(a) + f'(a)(x - a)$.
Дана функция $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \cos x}}$ и точка $a = \frac{\pi}{3}$.
1. Найдем значение функции в точке $a$:
$f(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{\sqrt{2 \cos\frac{\pi}{3}}} = \frac{1}{\sqrt{2 \cdot \frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{1}} = 1$.
2. Найдем производную функции $f(x) = (2 \cos x)^{-1/2}$:
$f'(x) = ((2 \cos x)^{-1/2})' = -\frac{1}{2}(2 \cos x)^{-3/2} \cdot (2 \cos x)' = -\frac{1}{2}(2 \cos x)^{-3/2} \cdot (-2 \sin x) = \sin x \cdot (2 \cos x)^{-3/2} = \frac{\sin x}{\sqrt{(2 \cos x)^3}}$.
3. Найдем значение производной в точке $a$:
$f'(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sin\frac{\pi}{3}}{\sqrt{(2 \cos\frac{\pi}{3})^3}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{(2 \cdot \frac{1}{2})^3}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{1^3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
4. Подставим найденные значения $f(a) = 1$, $f'(a) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $a = \frac{\pi}{3}$ в уравнение касательной:
$y = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}(x - \frac{\pi}{3})$.
Преобразуем уравнение:
$y = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}x - \frac{\sqrt{3}\pi}{6}$.
Ответ: $y = \frac{\sqrt{3}}{2}x + 1 - \frac{\sqrt{3}\pi}{6}$.