Номер 9.37, страница 55, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 9. Степенная функция, её свойства и график. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 9.37, страница 55.

9.37. Решите неравенство $f'(x) > 0$, если:

а) $f(x) = \frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}} + \frac{3}{2}x^{\frac{4}{3}};$

б) $f(x) = 0,4x^{\frac{5}{4}} - \frac{8}{3}x^{\frac{3}{4}}.$

а) Дана функция $f(x) = \frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}} + \frac{3}{2}x^{\frac{4}{3}}$.
Сначала найдем производную функции $f(x)$. Используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, получаем:
$f'(x) = \left(\frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}} + \frac{3}{2}x^{\frac{4}{3}}\right)' = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3}x^{\frac{5}{3}-1} + \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3}x^{\frac{4}{3}-1} = x^{\frac{2}{3}} + 2x^{\frac{1}{3}}$.
Область определения исходной функции и ее производной — все действительные числа, так как корень третьей степени определен для любого действительного числа.
Теперь решим неравенство $f'(x) > 0$:
$x^{\frac{2}{3}} + 2x^{\frac{1}{3}} > 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^{\frac{1}{3}}$. Тогда $x^{\frac{2}{3}} = (x^{\frac{1}{3}})^2 = t^2$. Неравенство принимает вид:
$t^2 + 2t > 0$.
Разложим на множители левую часть:
$t(t+2) > 0$.
Решим это квадратное неравенство методом интервалов. Корни уравнения $t(t+2) = 0$ равны $t_1 = 0$ и $t_2 = -2$. Парабола $y = t^2 + 2t$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство выполняется при $t < -2$ или $t > 0$.
Вернемся к исходной переменной $x$:
1) $t < -2 \implies x^{\frac{1}{3}} < -2$. Возводим обе части в нечетную (третью) степень, знак неравенства сохраняется: $(x^{\frac{1}{3}})^3 < (-2)^3 \implies x < -8$.
2) $t > 0 \implies x^{\frac{1}{3}} > 0$. Возводим обе части в куб: $(x^{\frac{1}{3}})^3 > 0^3 \implies x > 0$.
Объединяя полученные решения, получаем итоговый интервал.
Ответ: $x \in (-\infty; -8) \cup (0; +\infty)$.

б) Дана функция $f(x) = 0,4x^{\frac{5}{4}} - \frac{8}{3}x^{\frac{3}{4}}$.
Сначала найдем производную функции $f(x)$. Переведем десятичную дробь в обыкновенную для удобства вычислений: $0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
$f(x) = \frac{2}{5}x^{\frac{5}{4}} - \frac{8}{3}x^{\frac{3}{4}}$.
Найдем производную:
$f'(x) = \left(\frac{2}{5}x^{\frac{5}{4}} - \frac{8}{3}x^{\frac{3}{4}}\right)' = \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{4}x^{\frac{5}{4}-1} - \frac{8}{3} \cdot \frac{3}{4}x^{\frac{3}{4}-1} = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{4}} - 2x^{-\frac{1}{4}}$.
Область определения исходной функции $f(x)$ задается условием $x \ge 0$, так как показатели степени — дроби со знаменателем 4 (корень четвертой степени). Область определения производной $f'(x)$ задается условием $x > 0$ из-за наличия члена $x^{-\frac{1}{4}} = \frac{1}{\sqrt[4]{x}}$, где знаменатель не может быть равен нулю. Таким образом, неравенство $f'(x) > 0$ необходимо решать при $x > 0$.
Решим неравенство $f'(x) > 0$:
$\frac{1}{2}x^{\frac{1}{4}} - 2x^{-\frac{1}{4}} > 0$.
$\frac{1}{2}x^{\frac{1}{4}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{4}}} > 0$.
Приведем к общему знаменателю $2x^{\frac{1}{4}}$:
$\frac{(x^{\frac{1}{4}})^2 - 4}{2x^{\frac{1}{4}}} > 0$.
$\frac{x^{\frac{1}{2}} - 4}{2x^{\frac{1}{4}}} > 0$.
Так как по области определения $x > 0$, знаменатель $2x^{\frac{1}{4}}$ всегда строго положителен. Следовательно, знак дроби совпадает со знаком числителя:
$x^{\frac{1}{2}} - 4 > 0$.
$x^{\frac{1}{2}} > 4$.
$\sqrt{x} > 4$.
Возводим обе части неравенства в квадрат. Так как обе части неотрицательны, знак неравенства сохраняется:
$(\sqrt{x})^2 > 4^2 \implies x > 16$.
Данное решение $x > 16$ удовлетворяет области определения производной $x > 0$.
Ответ: $x \in (16; +\infty)$.