Номер 11.21, страница 64, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 11. Показательная функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 11.21, страница 64.

11.21. Определите, какое из чисел $ \left(\frac{3}{7}\right)^{x_1} $ или $ \left(\frac{3}{7}\right)^{x_2} $ больше, если:

а) $x_1 = \frac{2}{3}, x_2 = -\frac{3}{5}$;

б) $x_1 = -\frac{6}{7}, x_2 = -\frac{10}{11}$;

в) $x_1 = \frac{5}{7}, x_2 = \frac{3}{11}$;

г) $x_1 = -1,6, x_2 = -3$.

Для решения этой задачи необходимо использовать свойство показательной функции $y = a^x$. В данном случае мы имеем дело с функцией $y = (\frac{3}{7})^x$.

Основание степени $a = \frac{3}{7}$. Так как $0 < a < 1$, показательная функция с таким основанием является убывающей на всей области определения. Это означает, что для любых двух показателей степени $x_1$ и $x_2$, если $x_1 > x_2$, то $(\frac{3}{7})^{x_1} < (\frac{3}{7})^{x_2}$. Иными словами, большему значению показателя степени соответствует меньшее значение функции.

Чтобы определить, какое из чисел больше, мы должны сначала сравнить их показатели степени $x_1$ и $x_2$.

а) Дано $x_1 = \frac{2}{3}$ и $x_2 = \frac{3}{5}$.

Сравним показатели $x_1$ и $x_2$. Для этого приведем дроби к общему знаменателю, который равен 15:

$x_1 = \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{10}{15}$

$x_2 = \frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{9}{15}$

Поскольку $10 > 9$, то $\frac{10}{15} > \frac{9}{15}$, а значит, $x_1 > x_2$.

Так как функция $y = (\frac{3}{7})^x$ является убывающей, из неравенства $x_1 > x_2$ следует, что $(\frac{3}{7})^{x_1} < (\frac{3}{7})^{x_2}$.

Ответ: число $(\frac{3}{7})^{\frac{3}{5}}$ больше.

б) Дано $x_1 = -\frac{6}{7}$ и $x_2 = -\frac{10}{11}$.

Сравним отрицательные показатели $x_1$ и $x_2$. Сначала сравним их модули (абсолютные величины): $\frac{6}{7}$ и $\frac{10}{11}$. Общий знаменатель равен 77:

$\frac{6}{7} = \frac{6 \cdot 11}{7 \cdot 11} = \frac{66}{77}$

$\frac{10}{11} = \frac{10 \cdot 7}{11 \cdot 7} = \frac{70}{77}$

Так как $66 < 70$, то $\frac{66}{77} < \frac{70}{77}$, то есть $\frac{6}{7} < \frac{10}{11}$.

При сравнении отрицательных чисел знак неравенства меняется на противоположный: $-\frac{6}{7} > -\frac{10}{11}$. Следовательно, $x_1 > x_2$.

Так как функция $y = (\frac{3}{7})^x$ является убывающей, из $x_1 > x_2$ следует, что $(\frac{3}{7})^{x_1} < (\frac{3}{7})^{x_2}$.

Ответ: число $(\frac{3}{7})^{-\frac{10}{11}}$ больше.

в) Дано $x_1 = \frac{5}{7}$ и $x_2 = \frac{3}{11}$.

Сравним показатели $x_1$ и $x_2$. Приведем дроби к общему знаменателю 77:

$x_1 = \frac{5}{7} = \frac{5 \cdot 11}{7 \cdot 11} = \frac{55}{77}$

$x_2 = \frac{3}{11} = \frac{3 \cdot 7}{11 \cdot 7} = \frac{21}{77}$

Поскольку $55 > 21$, то $\frac{55}{77} > \frac{21}{77}$, а значит, $x_1 > x_2$.

Так как функция $y = (\frac{3}{7})^x$ является убывающей, из $x_1 > x_2$ следует, что $(\frac{3}{7})^{x_1} < (\frac{3}{7})^{x_2}$.

Ответ: число $(\frac{3}{7})^{\frac{3}{11}}$ больше.

г) Дано $x_1 = -1,6$ и $x_2 = -3$.

Сравним показатели $x_1$ и $x_2$.

Так как $-1,6$ находится на числовой прямой правее, чем $-3$, то $-1,6 > -3$. Следовательно, $x_1 > x_2$.

Так как функция $y = (\frac{3}{7})^x$ является убывающей, из $x_1 > x_2$ следует, что $(\frac{3}{7})^{x_1} < (\frac{3}{7})^{x_2}$.

Ответ: число $(\frac{3}{7})^{-3}$ больше.