Номер 11.18, страница 63, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 11. Показательная функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 11.18, страница 63.

11.18. Определите, какое из чисел – $5^{x_1}$ или $5^{x_2}$ больше, если:

а) $x_1 = \frac{2}{3}$, $x_2 = \frac{4}{5}$;

б) $x_1 = -\frac{7}{3}$, $x_2 = -\frac{6}{5}$;

в) $x_1 = \frac{3}{5}$, $x_2 = \frac{4}{7}$;

г) $x_1 = -\frac{3}{8}$, $x_2 = -\frac{11}{9}$.

Для сравнения чисел вида $5^{x_1}$ и $5^{x_2}$ необходимо использовать свойство показательной функции $y=a^x$. Поскольку основание степени $a=5$ больше единицы ($5 > 1$), показательная функция $y=5^x$ является строго возрастающей. Это означает, что для любых двух чисел $x_1$ и $x_2$, если $x_1 > x_2$, то и $5^{x_1} > 5^{x_2}$, и наоборот. Таким образом, задача сводится к сравнению показателей степеней $x_1$ и $x_2$.

а) $x_1 = \frac{2}{3}, x_2 = \frac{4}{5}$

Сравним дроби $x_1$ и $x_2$, приведя их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 3 и 5 — это 15.

$x_1 = \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{10}{15}$

$x_2 = \frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{12}{15}$

Так как $10 < 12$, то $\frac{10}{15} < \frac{12}{15}$, что означает $x_1 < x_2$. Поскольку функция $y=5^x$ возрастающая, из неравенства $x_1 < x_2$ следует, что $5^{x_1} < 5^{x_2}$.

Ответ: $5^{x_2}$ больше.

б) $x_1 = -\frac{7}{3}, x_2 = -\frac{6}{5}$

Сравним отрицательные дроби $x_1$ и $x_2$. Для этого сначала сравним их модули, приведя к общему знаменателю 15.

$|x_1| = \frac{7}{3} = \frac{7 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{35}{15}$

$|x_2| = \frac{6}{5} = \frac{6 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{18}{15}$

Так как $35 > 18$, то $\frac{35}{15} > \frac{18}{15}$. При сравнении отрицательных чисел знак неравенства меняется на противоположный, поэтому $-\frac{35}{15} < -\frac{18}{15}$, то есть $x_1 < x_2$. Из того, что функция $y=5^x$ возрастающая, следует $5^{x_1} < 5^{x_2}$.

Ответ: $5^{x_2}$ больше.

в) $x_1 = \frac{3}{5}, x_2 = \frac{4}{7}$

Сравним дроби $x_1$ и $x_2$, приведя их к общему знаменателю 35.

$x_1 = \frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 7}{5 \cdot 7} = \frac{21}{35}$

$x_2 = \frac{4}{7} = \frac{4 \cdot 5}{7 \cdot 5} = \frac{20}{35}$

Так как $21 > 20$, то $\frac{21}{35} > \frac{20}{35}$, что означает $x_1 > x_2$. Поскольку функция $y=5^x$ возрастающая, из $x_1 > x_2$ следует $5^{x_1} > 5^{x_2}$.

Ответ: $5^{x_1}$ больше.

г) $x_1 = -\frac{3}{8}, x_2 = -\frac{11}{9}$

Сравним отрицательные дроби $x_1$ и $x_2$. Сначала сравним их модули.

$|x_1| = \frac{3}{8}$

$|x_2| = \frac{11}{9}$

Дробь $\frac{3}{8}$ меньше 1, а дробь $\frac{11}{9}$ больше 1. Следовательно, $\frac{3}{8} < \frac{11}{9}$. При сравнении отрицательных чисел знак неравенства меняется на противоположный: $-\frac{3}{8} > -\frac{11}{9}$, то есть $x_1 > x_2$. Из того, что функция $y=5^x$ возрастающая, следует $5^{x_1} > 5^{x_2}$.

Ответ: $5^{x_1}$ больше.