Номер 11.38, страница 66, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 11. Показательная функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 11.38, страница 66.

11.38. На каком отрезке функция $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$ принимает:

а) наибольшее значение, равное 81, и наименьшее, равное $\frac{1}{27}$;

б) наименьшее значение, равное $\frac{1}{\sqrt{3}}$, и наибольшее, равное $\frac{1}{\sqrt[7]{9}}$?

Функция $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$ является показательной. Так как основание $a = \frac{1}{3}$ находится в интервале $0 < a < 1$, функция является строго убывающей на всей своей области определения. Это значит, что для любого отрезка $[x_1, x_2]$ наибольшее значение функция принимает в левой точке $x_1$, а наименьшее — в правой точке $x_2$. То есть, $y_{наиб} = y(x_1)$ и $y_{наим} = y(x_2)$.

а)

По условию, наибольшее значение функции $y_{наиб} = 81$ и наименьшее значение $y_{наим} = \frac{1}{27}$.

Найдём левую границу отрезка $x_1$, для которой функция принимает наибольшее значение:
$\left(\frac{1}{3}\right)^{x_1} = 81$
Представим $81$ в виде степени с основанием $\frac{1}{3}$: $81 = 3^4 = (3^{-1})^{-4} = \left(\frac{1}{3}\right)^{-4}$.
Тогда уравнение примет вид: $\left(\frac{1}{3}\right)^{x_1} = \left(\frac{1}{3}\right)^{-4}$.
Отсюда следует, что $x_1 = -4$.

Найдём правую границу отрезка $x_2$, для которой функция принимает наименьшее значение:
$\left(\frac{1}{3}\right)^{x_2} = \frac{1}{27}$
Представим $\frac{1}{27}$ в виде степени с основанием $\frac{1}{3}$: $\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = \left(\frac{1}{3}\right)^{3}$.
Тогда уравнение примет вид: $\left(\frac{1}{3}\right)^{x_2} = \left(\frac{1}{3}\right)^{3}$.
Отсюда следует, что $x_2 = 3$.

Таким образом, искомый отрезок: $[-4, 3]$.

Ответ: $[-4, 3]$.

б)

По условию, наименьшее значение функции $y_{наим} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ и наибольшее значение $y_{наиб} = \frac{1}{\sqrt[7]{9}}$.

Найдём левую границу отрезка $x_1$, для которой функция принимает наибольшее значение:
$\left(\frac{1}{3}\right)^{x_1} = \frac{1}{\sqrt[7]{9}}$
Представим правую часть в виде степени с основанием $\frac{1}{3}$: $\frac{1}{\sqrt[7]{9}} = \frac{1}{(3^2)^{1/7}} = \frac{1}{3^{2/7}} = \left(\frac{1}{3}\right)^{2/7}$.
Тогда уравнение примет вид: $\left(\frac{1}{3}\right)^{x_1} = \left(\frac{1}{3}\right)^{2/7}$.
Отсюда следует, что $x_1 = \frac{2}{7}$.

Найдём правую границу отрезка $x_2$, для которой функция принимает наименьшее значение:
$\left(\frac{1}{3}\right)^{x_2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
Представим правую часть в виде степени с основанием $\frac{1}{3}$: $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3^{1/2}} = \left(\frac{1}{3}\right)^{1/2}$.
Тогда уравнение примет вид: $\left(\frac{1}{3}\right)^{x_2} = \left(\frac{1}{3}\right)^{1/2}$.
Отсюда следует, что $x_2 = \frac{1}{2}$.

Таким образом, искомый отрезок: $[\frac{2}{7}, \frac{1}{2}]$.

Ответ: $[\frac{2}{7}, \frac{1}{2}]$.