Номер 11.44, страница 68, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 11. Показательная функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 11.44, страница 68.

Найдите область значений функции:

11.44. a) $y = 3 \cdot 2^x;$

б) $y = 14 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x;$

в) $y = \frac{1}{2} \cdot 7^x;$

г) $y = \frac{4}{3} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x.$

Чтобы найти область значений для каждой из предложенных функций, необходимо проанализировать их структуру. Все функции имеют вид $y = k \cdot a^x$, где $a > 0, a \neq 1$ и $k$ — постоянный коэффициент.

Основное свойство показательной функции $f(x) = a^x$ заключается в том, что ее область значений — это множество всех положительных действительных чисел, то есть $E(f) = (0; +\infty)$. Это означает, что $a^x > 0$ для любого действительного $x$.

Область значений функции $y = k \cdot a^x$ зависит от знака коэффициента $k$. Если $k > 0$, то область значений будет $(0; +\infty)$. Если $k < 0$, то область значений будет $(-\infty; 0)$.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

а) $y = 3 \cdot 2^x$

В данной функции основание степени $a=2$ и коэффициент $k=3$.

Так как показательная часть $2^x$ всегда больше нуля для любого $x$, мы имеем неравенство:

$2^x > 0$

Умножим обе части этого неравенства на положительный коэффициент $k=3$. Знак неравенства при этом не изменится:

$3 \cdot 2^x > 3 \cdot 0$

Это значит, что $y > 0$.

Следовательно, область значений функции — это все положительные числа.

Ответ: $E(y) = (0; +\infty)$.

б) $y = 14 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x$

Здесь основание степени $a = \frac{1}{2}$ и коэффициент $k=14$.

Для показательной функции $(\frac{1}{2})^x$ справедливо, что ее значения всегда положительны:

$\left(\frac{1}{2}\right)^x > 0$

Коэффициент $k=14$ также является положительным числом. Умножая неравенство на $14$, получаем:

$14 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x > 14 \cdot 0$

Отсюда следует, что $y > 0$.

Таким образом, область значений функции состоит из всех положительных действительных чисел.

Ответ: $E(y) = (0; +\infty)$.

в) $y = \frac{1}{2} \cdot 7^x$

В этой функции основание $a=7$ и коэффициент $k=\frac{1}{2}$.

Значение показательной части $7^x$ всегда больше нуля:

$7^x > 0$

Коэффициент $k=\frac{1}{2}$ положителен. Умножим на него обе части неравенства:

$\frac{1}{2} \cdot 7^x > \frac{1}{2} \cdot 0$

Получаем, что $y > 0$.

Область значений функции — это интервал от $0$ до $+\infty$.

Ответ: $E(y) = (0; +\infty)$.

г) $y = \frac{4}{3} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x$

Здесь основание $a=\frac{1}{2}$ и коэффициент $k=\frac{4}{3}$.

Как и в предыдущих случаях, показательная часть функции строго положительна:

$\left(\frac{1}{2}\right)^x > 0$

Коэффициент $k=\frac{4}{3}$ — положительное число, поэтому при умножении на него знак неравенства сохраняется:

$\frac{4}{3} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x > \frac{4}{3} \cdot 0$

Из чего следует, что $y > 0$.

Областью значений функции является множество всех положительных чисел.

Ответ: $E(y) = (0; +\infty)$.