Номер 11.50, страница 68, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 11. Показательная функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 11.50, страница 68.

11.50. a) $y = 2^{x-1} + 3;$

б) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^{x+2} + 4;$

В) $y = 3^{x+1} - 2;$

Г) $y = \left(\frac{4}{5}\right)^{x-1} - 3.$

а) $y = 2^{x-1} + 3$

Данная функция является показательной. Чтобы найти ее область значений, проанализируем ее структуру. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

1. Рассмотрим базовую показательную функцию $f(t) = 2^t$. Область значений этой функции — все положительные числа, то есть $E(f) = (0, +\infty)$. Это означает, что $2^t > 0$ для любого действительного $t$.

2. В нашем случае показатель степени равен $t = x-1$. Это не влияет на множество значений, которое может принимать показательное выражение. Следовательно, выражение $2^{x-1}$ также всегда будет строго больше нуля: $2^{x-1} > 0$ для любого $x$.

3. Функция $y$ получается путем прибавления константы 3 к выражению $2^{x-1}$. Это соответствует сдвигу графика функции $y = 2^{x-1}$ на 3 единицы вверх вдоль оси ординат.

4. Так как $2^{x-1} > 0$, то, прибавив 3 к обеим частям неравенства, получим: $2^{x-1} + 3 > 0 + 3$, что равносильно $y > 3$.

Таким образом, область значений функции — это все числа, большие 3.

Ответ: Область значений функции $E(y) = (3, +\infty)$.

б) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^{x+2} + 4$

Эта функция также является показательной. Найдем ее область значений аналогичным образом. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

1. Основание степени равно $\frac{1}{3}$, что является положительным числом, не равным 1. Базовая функция $f(t) = \left(\frac{1}{3}\right)^t$ имеет область значений $E(f) = (0, +\infty)$.

2. Показатель степени $t = x+2$ не изменяет того факта, что значение показательного выражения всегда положительно. То есть, $\left(\frac{1}{3}\right)^{x+2} > 0$ для всех действительных $x$.

3. К этому выражению прибавляется константа 4, что означает сдвиг графика функции $y = \left(\frac{1}{3}\right)^{x+2}$ на 4 единицы вверх.

4. Исходя из неравенства $\left(\frac{1}{3}\right)^{x+2} > 0$, получаем: $\left(\frac{1}{3}\right)^{x+2} + 4 > 0 + 4$, то есть $y > 4$.

Следовательно, область значений функции — это все числа, которые строго больше 4.

Ответ: Область значений функции $E(y) = (4, +\infty)$.

в) $y = 3^{x+1} - 2$

Проанализируем данную показательную функцию. Область определения — $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

1. Выражение $3^{x+1}$ является показательным с основанием 3. Так как $3 > 0$, значение $3^t$ всегда положительно для любого $t$. В данном случае $t = x+1$. Значит, $3^{x+1} > 0$ для любого $x$.

2. Из выражения $3^{x+1}$ вычитается константа 2. Это соответствует сдвигу графика функции $y = 3^{x+1}$ на 2 единицы вниз вдоль оси ординат.

3. Используя неравенство $3^{x+1} > 0$, вычтем 2 из обеих частей: $3^{x+1} - 2 > 0 - 2$, откуда $y > -2$.

Таким образом, область значений функции состоит из всех чисел, больших -2.

Ответ: Область значений функции $E(y) = (-2, +\infty)$.

г) $y = \left(\frac{4}{5}\right)^{x-1} - 3$

Найдем область значений для этой показательной функции. Область определения — $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

1. Основание степени $\frac{4}{5}$ находится в интервале $(0, 1)$. Независимо от этого, для любого показателя степени $t=x-1$, значение выражения $\left(\frac{4}{5}\right)^{x-1}$ будет строго положительным: $\left(\frac{4}{5}\right)^{x-1} > 0$.

2. Из этого выражения вычитается константа 3, что означает сдвиг графика функции $y = \left(\frac{4}{5}\right)^{x-1}$ на 3 единицы вниз.

3. Из неравенства $\left(\frac{4}{5}\right)^{x-1} > 0$ следует: $\left(\frac{4}{5}\right)^{x-1} - 3 > 0 - 3$, что дает $y > -3$.

Итак, область значений функции — это все числа, большие -3.

Ответ: Область значений функции $E(y) = (-3, +\infty)$.