Номер 11.56, страница 70, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 11. Показательная функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 11.56, страница 70.

Постройте график функции:

11.56. a) $y = 2^{|x|}$;

б) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^{|x-1|}$;

в) $y = 4^{|x|}$;

г) $y = 0,2^{|x+2|}$.

а) $y = 2^{|x|}$

Для построения графика функции $y = f(|x|)$ необходимо сначала построить график функции $y = f(x)$ для $x \ge 0$, а затем отразить полученную часть графика симметрично относительно оси ординат (оси Oy).

1. Построим график функции $y = 2^x$ для $x \ge 0$. Это ветвь стандартной показательной функции с основанием больше 1. График проходит через следующие точки:

• при $x=0$, $y=2^0=1$, точка $(0, 1)$;
• при $x=1$, $y=2^1=2$, точка $(1, 2)$;
• при $x=2$, $y=2^2=4$, точка $(2, 4)$.

2. Отразим эту часть графика симметрично относительно оси Oy. Полученная кривая будет графиком функции $y = 2^{-x} = (\frac{1}{2})^x$ при $x < 0$. Например:

• при $x=-1$, $y=2^{|-1|}=2^1=2$, точка $(-1, 2)$;
• при $x=-2$, $y=2^{|-2|}=2^2=4$, точка $(-2, 4)$.

Функция является четной, так как $y(-x) = 2^{|-x|} = 2^{|x|} = y(x)$. Ее график симметричен относительно оси ординат.

Ответ: График функции $y = 2^{|x|}$ состоит из двух частей, симметричных относительно оси Oy. Для $x \ge 0$ это график функции $y = 2^x$, а для $x < 0$ это график функции $y = 2^{-x}$. Точка $(0, 1)$ является точкой минимума.

б) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^{|x-1|}$

График функции $y = f(|x-a|)$ можно получить, сдвинув график функции $y = f(|x|)$ на $a$ единиц вдоль оси Ox. В данном случае $a=1$. Однако, проще построить график, раскрыв модуль.

Раскроем модуль $|x-1|$:

$|x-1| = \begin{cases} x-1, & \text{если } x-1 \ge 0 \implies x \ge 1 \\ -(x-1), & \text{если } x-1 < 0 \implies x < 1 \end{cases}$

Таким образом, функция задается кусочно:

$y = \begin{cases} (\frac{1}{3})^{x-1}, & \text{если } x \ge 1 \\ (\frac{1}{3})^{-(x-1)} = 3^{x-1}, & \text{если } x < 1 \end{cases}$

1. Для $x \ge 1$ строим график функции $y = (\frac{1}{3})^{x-1}$. Это график функции $y = (\frac{1}{3})^x$, сдвинутый на 1 единицу вправо. Это убывающая показательная функция. Ключевые точки:

• при $x=1$, $y=(\frac{1}{3})^{1-1}=1$, точка $(1, 1)$;
• при $x=2$, $y=(\frac{1}{3})^{2-1}=\frac{1}{3}$, точка $(2, \frac{1}{3})$.

2. Для $x < 1$ строим график функции $y = 3^{x-1}$. Это график функции $y = 3^x$, сдвинутый на 1 единицу вправо. Это возрастающая показательная функция. Ключевые точки:

• при $x=0$, $y=3^{0-1}=\frac{1}{3}$, точка $(0, \frac{1}{3})$;
• при $x=-1$, $y=3^{-1-1}=3^{-2}=\frac{1}{9}$, точка $(-1, \frac{1}{9})$.

График симметричен относительно вертикальной прямой $x=1$.

Ответ: График функции состоит из двух ветвей, сходящихся в точке $(1, 1)$, которая является точкой максимума. Для $x \ge 1$ это график убывающей функции $y = (\frac{1}{3})^{x-1}$, а для $x < 1$ это график возрастающей функции $y = 3^{x-1}$. График симметричен относительно прямой $x=1$.

в) $y = 4^{|x|}$

Построение аналогично пункту а). Используем правило для построения графика функции $y = f(|x|)$.

1. Построим график функции $y = 4^x$ для $x \ge 0$. Это возрастающая показательная функция, которая растет быстрее, чем $y=2^x$. Ключевые точки:

• при $x=0$, $y=4^0=1$, точка $(0, 1)$;
• при $x=1$, $y=4^1=4$, точка $(1, 4)$;
• при $x=0.5$, $y=4^{0.5}=\sqrt{4}=2$, точка $(0.5, 2)$.

2. Отразим эту часть графика симметрично относительно оси Oy. Для $x < 0$ получим график функции $y = 4^{-x} = (\frac{1}{4})^x$. Ключевые точки:

• при $x=-1$, $y=4^{|-1|}=4^1=4$, точка $(-1, 4)$;
• при $x=-0.5$, $y=4^{|-0.5|}=4^{0.5}=2$, точка $(-0.5, 2)$.

Функция четная, график симметричен относительно оси Oy.

Ответ: График функции $y = 4^{|x|}$ симметричен относительно оси Oy. Он состоит из графика $y = 4^x$ при $x \ge 0$ и графика $y = 4^{-x}$ при $x < 0$. Точка $(0, 1)$ является точкой минимума.

г) $y = 0.2^{|x+2|}$

Построение аналогично пункту б). Раскроем модуль $|x+2|$, точка "перелома" - $x=-2$.

$|x+2| = \begin{cases} x+2, & \text{если } x+2 \ge 0 \implies x \ge -2 \\ -(x+2), & \text{если } x+2 < 0 \implies x < -2 \end{cases}$

Учитывая, что $0.2 = \frac{1}{5}$, функция задается кусочно:

$y = \begin{cases} (0.2)^{x+2}, & \text{если } x \ge -2 \\ (0.2)^{-(x+2)} = (\frac{1}{5})^{-(x+2)} = 5^{x+2}, & \text{если } x < -2 \end{cases}$

1. Для $x \ge -2$ строим график функции $y = 0.2^{x+2}$. Это график функции $y = 0.2^x$, сдвинутый на 2 единицы влево. Так как основание $0.2 < 1$, функция убывающая. Ключевые точки:

• при $x=-2$, $y=0.2^{-2+2}=0.2^0=1$, точка $(-2, 1)$;
• при $x=-1$, $y=0.2^{-1+2}=0.2^1=0.2$, точка $(-1, 0.2)$;
• при $x=0$, $y=0.2^{0+2}=0.2^2=0.04$, точка $(0, 0.04)$.

2. Для $x < -2$ строим график функции $y = 5^{x+2}$. Это график функции $y = 5^x$, сдвинутый на 2 единицы влево. Так как основание $5 > 1$, функция возрастающая. Ключевые точки:

• при $x=-3$, $y=5^{-3+2}=5^{-1}=0.2$, точка $(-3, 0.2)$;
• при $x=-4$, $y=5^{-4+2}=5^{-2}=0.04$, точка $(-4, 0.04)$.

График симметричен относительно вертикальной прямой $x=-2$.

Ответ: График функции состоит из двух ветвей, симметричных относительно прямой $x=-2$. Точка $(-2, 1)$ является точкой максимума. Для $x \ge -2$ это график убывающей функции $y = 0.2^{x+2}$, а для $x < -2$ это график возрастающей функции $y = 5^{x+2}$.