Номер 11.61, страница 70, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 11. Показательная функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 11.61, страница 70.

Решите неравенство:

11.61. а) $4^x \le 64$;

б) $\left(\frac{1}{2}\right)^x > \frac{1}{8}$;

в) $5^x \ge 25$;

г) $\left(\frac{2}{3}\right)^x < \frac{8}{27}$.

а)
Исходное неравенство: $4^x \le 64$.
Чтобы решить это показательное неравенство, приведем обе части к одному основанию. Правая часть $64$ может быть представлена как степень числа $4$: $64 = 4^3$.
Теперь неравенство имеет вид: $4^x \le 4^3$.
Так как основание степени $4 > 1$, показательная функция $y=4^x$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента, поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется.
$x \le 3$.
Решение неравенства можно записать в виде промежутка: $x \in (-\infty; 3]$.
Ответ: $x \in (-\infty; 3]$.

б)
Исходное неравенство: $(\frac{1}{2})^x > \frac{1}{8}$.
Приведем обе части неравенства к основанию $\frac{1}{2}$. Мы знаем, что $8 = 2^3$, следовательно $\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = (\frac{1}{2})^3$.
Неравенство принимает вид: $(\frac{1}{2})^x > (\frac{1}{2})^3$.
Так как основание степени $0 < \frac{1}{2} < 1$, показательная функция $y=(\frac{1}{2})^x$ является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента, поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный.
$x < 3$.
Решение неравенства в виде промежутка: $x \in (-\infty; 3)$.
Ответ: $x \in (-\infty; 3)$.

в)
Исходное неравенство: $5^x \ge 25$.
Приведем обе части к основанию $5$. Правая часть $25$ — это $5^2$.
Неравенство принимает вид: $5^x \ge 5^2$.
Основание степени $5 > 1$, поэтому показательная функция $y=5^x$ является возрастающей. Знак неравенства при переходе к показателям сохраняется.
$x \ge 2$.
Решение неравенства в виде промежутка: $x \in [2; +\infty)$.
Ответ: $x \in [2; +\infty)$.

г)
Исходное неравенство: $(\frac{2}{3})^x < \frac{8}{27}$.
Приведем обе части к основанию $\frac{2}{3}$. Заметим, что $8 = 2^3$ и $27 = 3^3$, поэтому $\frac{8}{27} = \frac{2^3}{3^3} = (\frac{2}{3})^3$.
Неравенство можно переписать так: $(\frac{2}{3})^x < (\frac{2}{3})^3$.
Так как основание степени $0 < \frac{2}{3} < 1$, показательная функция $y=(\frac{2}{3})^x$ является убывающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей знак неравенства нужно изменить на противоположный.
$x > 3$.
Решение неравенства в виде промежутка: $x \in (3; +\infty)$.
Ответ: $x \in (3; +\infty)$.