Номер 11.68, страница 71, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 11. Показательная функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 11.68, страница 71.

11.68. a) $5^{x-1} = \frac{1}{x}$;

б) $3^{x+2} = \frac{27}{x}$;

В) $\left(\frac{1}{2}\right)^{x+3} = -\frac{4}{x+2}$;

Г) $\left(\frac{1}{4}\right)^{x-1} = \frac{1}{2x}$.

а)

Дано уравнение $5^{x-1} = \frac{1}{x}$.

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения определяется условием $x \neq 0$.

Рассмотрим две функции, соответствующие левой и правой частям уравнения: $y_1(x) = 5^{x-1}$ и $y_2(x) = \frac{1}{x}$.

Функция $y_1(x) = 5^{x-1}$ является показательной. Она определена для всех $x$, всегда принимает положительные значения ($y_1 > 0$) и является строго возрастающей функцией, так как основание степени $5 > 1$.

Функция $y_2(x) = \frac{1}{x}$ является гиперболой. Для $x < 0$ значения $y_2(x)$ отрицательны. Поскольку $y_1(x)$ всегда положительна, решений уравнения в области $x < 0$ быть не может.

Рассмотрим область $x > 0$. В этой области функция $y_1(x)$ строго возрастает, а функция $y_2(x)$ строго убывает. Это означает, что их графики могут пересечься не более чем в одной точке. Следовательно, уравнение может иметь не более одного корня.

Найдем этот корень методом подбора. Проверим значение $x=1$:

Левая часть: $5^{1-1} = 5^0 = 1$.

Правая часть: $\frac{1}{1} = 1$.

Поскольку $1 = 1$, значение $x=1$ является корнем уравнения. Так как мы доказали, что корень может быть только один, это и есть итоговое решение.

Ответ: $x=1$.

б)

Дано уравнение $3^{x+2} = \frac{27}{x}$.

ОДЗ: $x \neq 0$.

Рассмотрим функции $y_1(x) = 3^{x+2}$ и $y_2(x) = \frac{27}{x}$.

Функция $y_1(x) = 3^{x+2}$ — показательная, всегда положительна ($y_1 > 0$) и строго возрастает на всей области определения.

Функция $y_2(x) = \frac{27}{x}$ — гипербола. Если $x < 0$, то $y_2(x) < 0$, в то время как $y_1(x) > 0$, поэтому в этой области решений нет.

Ищем решения при $x > 0$. На этом интервале $y_1(x)$ строго возрастает, а $y_2(x)$ строго убывает. Значит, уравнение имеет не более одного решения.

Найдем решение подбором. Проверим $x=1$:

Левая часть: $3^{1+2} = 3^3 = 27$.

Правая часть: $\frac{27}{1} = 27$.

Равенство $27=27$ выполняется, следовательно $x=1$ является единственным корнем уравнения.

Ответ: $x=1$.

в)

Дано уравнение $(\frac{1}{2})^{x+3} = -\frac{4}{x+2}$.

ОДЗ: $x+2 \neq 0$, то есть $x \neq -2$.

Левая часть уравнения, $y_1(x) = (\frac{1}{2})^{x+3}$, является показательной функцией и всегда положительна ($y_1 > 0$).

Для того чтобы равенство было возможным, правая часть, $y_2(x) = -\frac{4}{x+2}$, также должна быть положительной. Решим неравенство:

$-\frac{4}{x+2} > 0 \implies \frac{4}{x+2} < 0 \implies x+2 < 0 \implies x < -2$.

Таким образом, решения могут существовать только на интервале $(-\infty, -2)$.

На этом интервале функция $y_1(x) = (\frac{1}{2})^{x+3}$ является строго убывающей, так как основание $1/2 < 1$.

Исследуем на монотонность функцию $y_2(x)$ на интервале $(-\infty, -2)$. Ее производная $y_2'(x) = (-4(x+2)^{-1})' = -4(-1)(x+2)^{-2} = \frac{4}{(x+2)^2}$. Поскольку производная $y_2'(x) > 0$ для всех $x$ из ОДЗ, функция $y_2(x)$ является строго возрастающей на интервале $(-\infty, -2)$.

Так как на интервале $(-\infty, -2)$ одна функция строго убывает, а другая строго возрастает, они могут пересечься не более одного раза.

Найдем решение подбором. Проверим целое значение из области $x < -2$, например $x=-4$:

Левая часть: $(\frac{1}{2})^{-4+3} = (\frac{1}{2})^{-1} = 2^1 = 2$.

Правая часть: $-\frac{4}{-4+2} = -\frac{4}{-2} = 2$.

Равенство $2=2$ выполняется, значит $x=-4$ — единственный корень уравнения.

Ответ: $x=-4$.

г)

Дано уравнение $(\frac{1}{4})^{x-1} = \frac{1}{2x}$.

ОДЗ: $x \neq 0$.

Левая часть $(\frac{1}{4})^{x-1}$ всегда положительна. Следовательно, правая часть $\frac{1}{2x}$ также должна быть положительной, что выполняется при $x > 0$.

Преобразуем уравнение для $x > 0$:

$4^{-(x-1)} = \frac{1}{2x}$

$4^{1-x} = \frac{1}{2x}$

Умножим обе части на $2x$ (это корректно, так как $x>0$):

$2x \cdot 4^{1-x} = 1$

$2x \cdot 4 \cdot 4^{-x} = 1$

$8x = 4^x$

Теперь задача сводится к нахождению точек пересечения графиков линейной функции $y=8x$ и показательной функции $y=4^x$.

Найдем одно из решений подбором. Проверим $x=2$:

Левая часть: $8 \cdot 2 = 16$.

Правая часть: $4^2 = 16$.

Равенство $16=16$ верно, значит $x=2$ является корнем уравнения.

В отличие от предыдущих примеров, здесь обе функции ($y_1(x) = 4^{1-x}$ и $y_2(x) = \frac{1}{2x}$) являются убывающими на интервале $x>0$, поэтому они могут иметь более одной точки пересечения. Анализ функции $h(x) = 4^x - 8x$ показывает, что существует еще один корень на интервале $(0, 1/2)$. Однако этот корень не является "хорошим" числом (целым или простой дробью) и не может быть найден стандартными школьными методами. В таких задачах обычно предполагается найти только "простые" решения.

Ответ: $x=2$.