Номер 11.71, страница 71, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 11. Показательная функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 11.71, страница 71.

11.71. a) $y = 2^x$, $y = x - 2$;

б) $y = \left(\frac{2}{5}\right)^x$, $y = x + 1$;

В) $y = \left(\sqrt{2}\right)^x$, $y = x - 4$;

Г) $y = \left(\frac{3}{7}\right)^x$, $y = -x - 2?$

Для решения данных задач необходимо найти количество точек пересечения графиков двух функций. Это эквивалентно нахождению количества корней уравнения, получаемого приравниванием правых частей данных уравнений.

а) $y = 2^x, y = x - 2$

Приравняем правые части уравнений: $2^x = x - 2$.

Для того чтобы существовало решение, необходимо, чтобы правая часть была положительной, так как $2^x > 0$ для любого $x$. Следовательно, $x - 2 > 0$, что означает $x > 2$.

Рассмотрим функцию $h(x) = 2^x - (x - 2) = 2^x - x + 2$. Нам нужно найти количество корней уравнения $h(x) = 0$.

Для анализа функции найдем её производную: $h'(x) = (2^x - x + 2)' = 2^x \ln 2 - 1$.

Найдем точку экстремума, приравняв производную к нулю: $h'(x) = 0$.

$2^x \ln 2 - 1 = 0 \implies 2^x = \frac{1}{\ln 2}$.

Отсюда точка минимума $x_{min} = \log_2\left(\frac{1}{\ln 2}\right) = -\log_2(\ln 2)$.

Найдем минимальное значение функции $h(x)$ в этой точке:

$h(x_{min}) = 2^{x_{min}} - x_{min} + 2 = \frac{1}{\ln 2} - (-\log_2(\ln 2)) + 2 = \frac{1}{\ln 2} + \log_2(\ln 2) + 2$.

Так как $\ln 2 \approx 0.693$, то $1/\ln 2 \approx 1.44$ и $\log_2(\ln 2) \approx \log_2(0.693) \approx -0.52$.

Минимальное значение функции $h(x_{min}) \approx 1.44 - 0.52 + 2 = 2.92$.

Поскольку минимальное значение функции $h(x)$ больше нуля ($h(x_{min}) > 0$), функция $h(x)$ всегда положительна. Это означает, что $2^x - x + 2 > 0$ для всех $x$, и уравнение $2^x = x - 2$ не имеет действительных корней. Графики функций $y = 2^x$ и $y = x - 2$ не пересекаются.

Ответ: 0.

б) $y = \left(\frac{2}{5}\right)^x, y = x + 1$

Приравняем правые части уравнений: $\left(\frac{2}{5}\right)^x = x + 1$.

Рассмотрим функции $f(x) = \left(\frac{2}{5}\right)^x$ и $g(x) = x + 1$.

Функция $f(x) = \left(\frac{2}{5}\right)^x$ является показательной с основанием $a = \frac{2}{5}$, где $0 < a < 1$. Следовательно, эта функция является строго убывающей на всей области определения.

Функция $g(x) = x + 1$ является линейной с положительным угловым коэффициентом ($k=1$), следовательно, она является строго возрастающей на всей области определения.

Строго убывающая и строго возрастающая функции могут пересекаться не более чем в одной точке. Попробуем найти эту точку подбором.

Проверим значение $x=0$:

Левая часть: $\left(\frac{2}{5}\right)^0 = 1$.

Правая часть: $0 + 1 = 1$.

Так как левая часть равна правой, $x=0$ является корнем уравнения. Поскольку корень может быть только один, мы его нашли. Графики пересекаются в одной точке $(0, 1)$.

Ответ: 1.

в) $y = (\sqrt{2})^x, y = x - 4$

Приравняем правые части уравнений: $(\sqrt{2})^x = x - 4$.

Для существования решения необходимо, чтобы $x - 4 > 0$, т.е. $x > 4$, так как $(\sqrt{2})^x$ всегда положительно.

Рассмотрим функцию $h(x) = (\sqrt{2})^x - (x - 4) = (\sqrt{2})^x - x + 4$. Найдем количество корней уравнения $h(x) = 0$.

Найдем производную: $h'(x) = (\sqrt{2})^x \ln(\sqrt{2}) - 1 = (\sqrt{2})^x \frac{\ln 2}{2} - 1$.

Найдем точку экстремума, приравняв производную к нулю: $h'(x) = 0$.

$(\sqrt{2})^x \frac{\ln 2}{2} = 1 \implies (\sqrt{2})^x = \frac{2}{\ln 2}$.

$x_{min} = \log_{\sqrt{2}}\left(\frac{2}{\ln 2}\right) = 2\log_2\left(\frac{2}{\ln 2}\right) = 2(1 - \log_2(\ln 2))$.

Приближенное значение $x_{min} \approx 2(1 - (-0.528)) = 3.056$.

Найдем минимальное значение функции $h(x)$:

$h(x_{min}) = (\sqrt{2})^{x_{min}} - x_{min} + 4 = \frac{2}{\ln 2} - 2(1 - \log_2(\ln 2)) + 4 = \frac{2}{\ln 2} + 2 + 2\log_2(\ln 2)$.

Приближенное значение $h(x_{min}) \approx \frac{2}{0.693} + 2 + 2(-0.528) \approx 2.886 + 2 - 1.056 = 3.83 > 0$.

Минимальное значение функции $h(x)$ положительно. Следовательно, $h(x) > 0$ для всех $x$, и уравнение $(\sqrt{2})^x = x - 4$ не имеет корней. Графики не пересекаются.

Ответ: 0.

г) $y = \left(\frac{3}{7}\right)^x, y = -x - 2$

Приравняем правые части уравнений: $\left(\frac{3}{7}\right)^x = -x - 2$.

Для существования решения необходимо, чтобы $-x - 2 > 0$, т.е. $x < -2$, так как $\left(\frac{3}{7}\right)^x$ всегда положительно.

Рассмотрим функцию $h(x) = \left(\frac{3}{7}\right)^x - (-x - 2) = \left(\frac{3}{7}\right)^x + x + 2$. Найдем количество корней уравнения $h(x) = 0$.

Найдем производную: $h'(x) = \left(\frac{3}{7}\right)^x \ln\left(\frac{3}{7}\right) + 1$.

Найдем точку экстремума: $h'(x) = 0$.

$\left(\frac{3}{7}\right)^x \ln\left(\frac{3}{7}\right) = -1 \implies \left(\frac{3}{7}\right)^x = \frac{-1}{\ln(3/7)} = \frac{1}{\ln(7/3)}$.

$x_{min} = \log_{3/7}\left(\frac{1}{\ln(7/3)}\right)$.

Найдем минимальное значение функции $h(x)$:

$h(x_{min}) = \left(\frac{3}{7}\right)^{x_{min}} + x_{min} + 2 = \frac{1}{\ln(7/3)} + \log_{3/7}\left(\frac{1}{\ln(7/3)}\right) + 2$.

Оценим значение: $\ln(7/3) \approx 0.847 > 0$, поэтому $\frac{1}{\ln(7/3)} \approx 1.18$.

$\log_{3/7}\left(\frac{1}{\ln(7/3)}\right) = \frac{\ln(1/\ln(7/3))}{\ln(3/7)} = \frac{\ln(1.18)}{-\ln(7/3)} \approx \frac{0.165}{-0.847} \approx -0.195$.

$h(x_{min}) \approx 1.18 - 0.195 + 2 = 2.985 > 0$.

Минимальное значение функции $h(x)$ положительно. Следовательно, $h(x) > 0$ для всех $x$, и уравнение $\left(\frac{3}{7}\right)^x = -x - 2$ не имеет корней. Графики не пересекаются.

Ответ: 0.