Номер 11.76, страница 72, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 11. Показательная функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 11.76, страница 72.

11.76. а) $|x - 1| \ge 2,5^x;$

б) $|2x - 1| \le 3,1^x;$

в) $2^x \le |x - 3|;$

г) $(\frac{1}{3})^x \ge |x + 4|.$

а) $|x - 1| \ge 2,5^x$

Для решения данного неравенства используем графический метод. Построим на одной координатной плоскости графики функций $y = |x - 1|$ и $y = 2,5^x$.

1. График функции $y = |x - 1|$ — это "галочка" с вершиной в точке $(1, 0)$. Он состоит из двух лучей: $y = 1 - x$ при $x < 1$ и $y = x - 1$ при $x \ge 1$.

2. График функции $y = 2,5^x$ — это показательная функция с основанием больше 1, поэтому она возрастает. График проходит через точку $(0, 1)$.

Найдем точки пересечения графиков. Для этого решим уравнение $|x - 1| = 2,5^x$.

Легко заметить, что $x=0$ является корнем, так как $|0 - 1| = 1$ и $2,5^0 = 1$.

Рассмотрим два случая:

- При $x \ge 1$: Уравнение принимает вид $x - 1 = 2,5^x$. При $x=1$ левая часть равна 0, а правая 2,5. Так как показательная функция $y=2,5^x$ растет гораздо быстрее линейной функции $y=x-1$, то при $x > 1$ график $y=2,5^x$ будет всегда выше графика $y=x-1$. Пересечений в этой области нет.

- При $x < 1$: Уравнение принимает вид $1 - x = 2,5^x$. Мы уже нашли корень $x=0$. Функция $y=1-x$ является убывающей, а функция $y=2,5^x$ — возрастающей. Следовательно, они могут пересечься не более одного раза. Этот корень — $x=0$.

Теперь определим, на каких промежутках выполняется неравенство $|x - 1| \ge 2,5^x$, то есть где график $y = |x - 1|$ находится не ниже графика $y = 2,5^x$.

- При $x > 0$: Возьмем пробную точку, например $x=1$. $|1-1| = 0$, $2,5^1 = 2,5$. Неравенство $0 \ge 2,5$ ложно. Значит, для $x>0$ решение отсутствует.

- При $x < 0$: Возьмем пробную точку, например $x=-1$. $|-1-1| = 2$, $2,5^{-1} = 0,4$. Неравенство $2 \ge 0,4$ истинно.

Таким образом, график $y=|x-1|$ находится не ниже графика $y=2,5^x$ при $x \le 0$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0]$.

б) $|2x - 1| \le 3,1^x$

Решим неравенство графическим методом. Построим графики функций $y = |2x - 1|$ и $y = 3,1^x$.

1. График $y = |2x - 1|$ — "галочка" с вершиной в точке, где $2x-1=0$, то есть в $x=1/2$. Вершина — $(1/2, 0)$.

2. График $y = 3,1^x$ — возрастающая показательная функция, проходящая через точку $(0, 1)$.

Найдем точки пересечения, решив уравнение $|2x - 1| = 3,1^x$.

При $x=0$: $|2 \cdot 0 - 1| = 1$ и $3,1^0 = 1$. Таким образом, $x=0$ — точка пересечения.

Рассмотрим поведение функций на разных интервалах:

- При $x < 0$: Возьмем $x=-1$. $|2(-1) - 1| = 3$. $3,1^{-1} \approx 0,32$. Неравенство $3 \le 0,32$ ложно. На этом интервале решений нет.

- При $x > 0$:

Рассмотрим промежуток $0 < x < 1/2$. Здесь $|2x-1| = 1-2x$. Неравенство $1-2x \le 3,1^x$. В точке $x=0$ было равенство. При $x>0$ левая часть $1-2x$ убывает, а правая $3,1^x$ возрастает. Следовательно, неравенство будет выполняться.

Рассмотрим промежуток $x \ge 1/2$. Здесь $|2x-1| = 2x-1$. Неравенство $2x-1 \le 3,1^x$. При $x=1/2$ имеем $0 \le \sqrt{3,1}$, что верно. Рассмотрим функцию $h(x) = 3,1^x - (2x-1)$. Ее производная $h'(x) = 3,1^x \ln(3,1) - 2$. $h'(x)=0$ при $3,1^x = 2/\ln(3,1) \approx 1,769$. $x = \log_{3,1}(1,769) \approx 0,5$. Минимальное значение функции $h(x)$ на этом луче близко к $h(1/2) = \sqrt{3,1} > 0$. Так как минимальное значение положительно, $h(x) > 0$ для всех $x \ge 1/2$, то есть $3,1^x > 2x-1$ на этом промежутке.

Итак, неравенство выполняется при $x=0$ и при всех $x > 0$.

Ответ: $x \in [0, +\infty)$.

в) $2^x \le |x - 3|$

Рассмотрим графики функций $y = 2^x$ и $y = |x - 3|$.

1. $y = 2^x$ — возрастающая показательная функция, проходит через $(0, 1)$ и $(1, 2)$.

2. $y = |x - 3|$ — "галочка" с вершиной в $(3, 0)$.

Найдем точки пересечения, решив уравнение $2^x = |x - 3|$.

- При $x \ge 3$: уравнение $2^x = x-3$. При $x=3$, $2^3=8$, а $x-3=0$. При $x>3$ показательная функция $2^x$ растет намного быстрее линейной $x-3$, поэтому пересечений в этой области нет. $2^x > x-3$ для всех $x \ge 3$.

- При $x < 3$: уравнение $2^x = 3-x$. Подбором находим корень $x=1$: $2^1=2$ и $3-1=2$. Функция $f(x)=2^x+x-3$ имеет производную $f'(x)=2^x\ln 2 + 1 > 0$, следовательно, она строго возрастает, а значит, имеет не более одного корня. Таким образом, $x=1$ — единственная точка пересечения.

Определим, где выполняется неравенство $2^x \le |x - 3|$.

- Мы установили, что при $x > 1$ (и $x < 3$), $2^x > 3-x = |x-3|$. Также мы знаем, что при $x \ge 3$, $2^x > x-3 = |x-3|$. Значит, для $x > 1$ решений нет.

- При $x < 1$, функция $y=2^x$ возрастает, а $y=3-x$ убывает. Так как при $x=1$ они равны, то при $x < 1$ будет выполняться $2^x < 3-x = |x-3|$.

Включая точку равенства $x=1$, получаем решение.

Ответ: $x \in (-\infty, 1]$.

г) $(\frac{1}{3})^x \ge |x + 4|$

Рассмотрим графики функций $y = (\frac{1}{3})^x$ и $y = |x + 4|$.

1. $y = (\frac{1}{3})^x = 3^{-x}$ — убывающая показательная функция, проходит через $(0, 1)$ и $(-1, 3)$.

2. $y = |x + 4|$ — "галочка" с вершиной в $(-4, 0)$.

Найдем точки пересечения: $(\frac{1}{3})^x = |x + 4|$.

- При $x \ge -4$: уравнение $(\frac{1}{3})^x = x+4$. Легко проверить, что $x=-1$ является корнем: $(\frac{1}{3})^{-1} = 3$ и $-1+4 = 3$. Функция $f(x) = (\frac{1}{3})^x - x - 4$ является строго убывающей, так как ее производная $f'(x) = -(\frac{1}{3})^x\ln 3 - 1 < 0$. Значит, корень $x=-1$ единственный.

- При $x < -4$: уравнение $(\frac{1}{3})^x = -(x+4) = -x-4$. Рассмотрим функцию $g(x) = (\frac{1}{3})^x + x + 4$. При $x=-4$, $g(-4) = (\frac{1}{3})^{-4} -4+4 = 81 > 0$. При $x \to -\infty$, слагаемое $(\frac{1}{3})^x$ растет гораздо быстрее, чем $|x|$, поэтому $g(x) \to +\infty$. Функция $g(x)$ на интервале $(-\infty, -4)$ всегда положительна, так как она убывает (ее производная $g'(x) = 1 - 3^{-x}\ln 3 < 0$ для $x<-4$) от $+\infty$ до $g(-4)=81$. Значит, $(\frac{1}{3})^x > -x-4$ на всем этом интервале. Точек пересечения здесь нет.

Теперь решим неравенство $(\frac{1}{3})^x \ge |x + 4|$.

- На промежутке $(-\infty, -4)$, как мы показали, $(\frac{1}{3})^x > -x-4 = |x+4|$, так что неравенство выполняется.

- В точке $x=-4$: $(\frac{1}{3})^{-4} = 81$, $|-4+4|=0$. $81 \ge 0$, верно.

- На промежутке $[-4, \infty)$. Здесь есть точка пересечения $x=-1$. Так как функция $f(x) = (\frac{1}{3})^x - |x+4|$ убывает на этом промежутке, то $f(x) \ge 0$ при $x \le -1$.

Объединяя все случаи, получаем, что неравенство выполняется для всех $x \le -1$.

Ответ: $x \in (-\infty, -1]$.