Номер 11.82, страница 72, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 11. Показательная функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 11.82, страница 72.

●11.82. Найдите наименьшее и наибольшее целочисленные значения функции $y = 20 \cdot 5^{\sin 4x + \sqrt{3} \cos 4x - 1}$.

Для нахождения наименьшего и наибольшего целочисленных значений функции $y = 20 \cdot 5^{\sin 4x + \sqrt{3} \cos 4x - 1}$, необходимо найти область значений этой функции.

Область значений функции $y$ зависит от области значений ее показателя степени. Обозначим показатель степени как $P(x) = \sin 4x + \sqrt{3} \cos 4x - 1$.

Чтобы найти область значений $P(x)$, преобразуем выражение $E(x) = \sin 4x + \sqrt{3} \cos 4x$ с помощью метода введения вспомогательного угла. Выражение вида $a \sin \theta + b \cos \theta$ можно представить как $R \sin(\theta + \varphi)$, где $R = \sqrt{a^2 + b^2}$.

В нашем случае коэффициенты $a=1$ и $b=\sqrt{3}$. Найдем $R$:

$R = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.

Теперь преобразуем выражение $E(x)$, вынеся $R$ за скобки:

$E(x) = 2 \left(\frac{1}{2} \sin 4x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 4x\right)$.

Заметим, что $\frac{1}{2}$ и $\frac{\sqrt{3}}{2}$ являются значениями косинуса и синуса для угла $\frac{\pi}{3}$:

$\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$

$\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Подставим эти значения в выражение и применим формулу синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$:

$E(x) = 2 \left(\sin 4x \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + \cos 4x \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right) = 2 \sin\left(4x + \frac{\pi}{3}\right)$.

Область значений любой функции синуса, в том числе $\sin\left(4x + \frac{\pi}{3}\right)$, есть отрезок $[-1, 1]$.

Следовательно, область значений для $E(x) = 2 \sin\left(4x + \frac{\pi}{3}\right)$ есть отрезок $[2 \cdot (-1), 2 \cdot 1]$, то есть $[-2, 2]$.

Теперь вернемся к показателю степени $P(x) = E(x) - 1$. Его область значений:

Наименьшее значение: $P_{min} = E_{min} - 1 = -2 - 1 = -3$.

Наибольшее значение: $P_{max} = E_{max} - 1 = 2 - 1 = 1$.

Таким образом, показатель степени $P(x)$ принимает значения из отрезка $[-3, 1]$.

Рассмотрим исходную функцию $y = 20 \cdot 5^{P(x)}$. Поскольку основание степени $5 > 1$, показательная функция $f(t) = 5^t$ является монотонно возрастающей. Это значит, что свое наименьшее значение функция $y$ будет принимать при наименьшем значении показателя, а наибольшее — при наибольшем.

Найдем наименьшее значение функции $y$:

$y_{min} = 20 \cdot 5^{P_{min}} = 20 \cdot 5^{-3} = 20 \cdot \frac{1}{125} = \frac{20}{125} = \frac{4}{25} = 0.16$.

Найдем наибольшее значение функции $y$:

$y_{max} = 20 \cdot 5^{P_{max}} = 20 \cdot 5^{1} = 100$.

Итак, область значений функции $y$ — это отрезок $[\frac{4}{25}, 100]$, или $[0.16, 100]$.

Согласно условию задачи, нам нужно найти наименьшее и наибольшее целочисленные значения из этого промежутка.

Наименьшее целое число, входящее в промежуток $[0.16, 100]$, — это $1$.

Наибольшее целое число, входящее в промежуток $[0.16, 100]$, — это $100$.

Ответ: наименьшее целочисленное значение функции равно 1, наибольшее целочисленное значение функции равно 100.