Номер 12.6, страница 73, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 12. Показательные уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 12.6, страница 73.

12.6. a) $3^{x^2 - 4,5} \cdot \sqrt{3} = \frac{1}{27};$

б) $0,5^{x^2 - 5,5} \cdot \sqrt{0,5} = 32;$

в) $\sqrt{2^{-1}} \cdot 2^{x^2 - 7,5} = \frac{1}{128};$

г) $0,1^{x^2 - 0,5} \cdot \sqrt{0,1} = 0,001.$

а) $3^{x^2 - 4,5} \cdot \sqrt{3} = \frac{1}{27}$

Чтобы решить это показательное уравнение, приведем все его части к одному основанию — 3.
Представим $\sqrt{3}$ как $3^{0,5}$ и $\frac{1}{27}$ как $\frac{1}{3^3} = 3^{-3}$.

Теперь уравнение выглядит так:

$3^{x^2 - 4,5} \cdot 3^{0,5} = 3^{-3}$

Воспользуемся свойством степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ для левой части уравнения:

$3^{(x^2 - 4,5) + 0,5} = 3^{-3}$

$3^{x^2 - 4} = 3^{-3}$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$x^2 - 4 = -3$

Решим полученное квадратное уравнение:

$x^2 = 4 - 3$

$x^2 = 1$

$x = \pm\sqrt{1}$

Ответ: $\pm 1$.

б) $0,5^{x^2 - 5,5} \cdot \sqrt{0,5} = 32$

Приведем все части уравнения к одному основанию. Удобнее всего использовать основание 2.
Представим $0,5$ как $\frac{1}{2} = 2^{-1}$, $\sqrt{0,5}$ как $\sqrt{2^{-1}} = (2^{-1})^{0,5} = 2^{-0,5}$ и $32$ как $2^5$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$(2^{-1})^{x^2 - 5,5} \cdot 2^{-0,5} = 2^5$

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$2^{-1 \cdot (x^2 - 5,5)} \cdot 2^{-0,5} = 2^5$

$2^{-x^2 + 5,5} \cdot 2^{-0,5} = 2^5$

Теперь сложим показатели степеней в левой части:

$2^{-x^2 + 5,5 - 0,5} = 2^5$

$2^{-x^2 + 5} = 2^5$

Приравняем показатели степеней:

$-x^2 + 5 = 5$

$-x^2 = 0$

$x^2 = 0$

Ответ: $0$.

в) $\sqrt{2^{-1}} \cdot 2^{x^2 - 7,5} = \frac{1}{128}$

Приведем все части уравнения к основанию 2.
Представим $\sqrt{2^{-1}}$ как $(2^{-1})^{0,5} = 2^{-0,5}$ и $\frac{1}{128}$ как $\frac{1}{2^7} = 2^{-7}$.

Уравнение принимает вид:

$2^{-0,5} \cdot 2^{x^2 - 7,5} = 2^{-7}$

Сложим показатели степеней в левой части:

$2^{-0,5 + x^2 - 7,5} = 2^{-7}$

$2^{x^2 - 8} = 2^{-7}$

Приравняем показатели степеней:

$x^2 - 8 = -7$

$x^2 = 8 - 7$

$x^2 = 1$

$x = \pm\sqrt{1}$

Ответ: $\pm 1$.

г) $0,1^{x^2 - 0,5} \cdot \sqrt{0,1} = 0,001$

Приведем все части уравнения к основанию 0,1.
Представим $\sqrt{0,1}$ как $0,1^{0,5}$ и $0,001$ как $0,1^3$.

Подставим эти значения в уравнение:

$0,1^{x^2 - 0,5} \cdot 0,1^{0,5} = 0,1^3$

Сложим показатели степеней в левой части:

$0,1^{(x^2 - 0,5) + 0,5} = 0,1^3$

$0,1^{x^2} = 0,1^3$

Приравняем показатели степеней:

$x^2 = 3$

$x = \pm\sqrt{3}$

Ответ: $\pm \sqrt{3}$.