Номер 12.2, страница 73, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 12. Показательные уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 12.2, страница 73.

12.2. a) $10^x = \sqrt[4]{1000}$;

б) $5^x = \frac{1}{\sqrt[3]{25}};$

в) $0,3^x = \sqrt[4]{0,0081};$

г) $\left(\frac{1}{5}\right)^x = 25\sqrt{5}.$

а) $10^x = \sqrt[4]{1000}$

Для решения данного показательного уравнения необходимо привести обе его части к одному основанию. В данном случае это основание 10.

Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием 10. Мы знаем, что $1000 = 10^3$. Корень четвертой степени можно представить в виде дробного показателя степени $\frac{1}{4}$.

$\sqrt[4]{1000} = \sqrt[4]{10^3} = (10^3)^{\frac{1}{4}} = 10^{3 \cdot \frac{1}{4}} = 10^{\frac{3}{4}}$

Теперь уравнение принимает вид:

$10^x = 10^{\frac{3}{4}}$

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$x = \frac{3}{4}$

Ответ: $x = \frac{3}{4}$

б) $5^x = \frac{1}{\sqrt[3]{25}}$

Приведем обе части уравнения к основанию 5.

Преобразуем правую часть. Знаем, что $25 = 5^2$. Корень третьей степени можно записать как степень с показателем $\frac{1}{3}$.

$\sqrt[3]{25} = \sqrt[3]{5^2} = (5^2)^{\frac{1}{3}} = 5^{\frac{2}{3}}$

Теперь подставим это в знаменатель дроби:

$\frac{1}{\sqrt[3]{25}} = \frac{1}{5^{\frac{2}{3}}}$

Используя свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем:

$5^{-\frac{2}{3}}$

Исходное уравнение можно записать как:

$5^x = 5^{-\frac{2}{3}}$

Приравнивая показатели степеней с одинаковыми основаниями, находим $x$:

$x = -\frac{2}{3}$

Ответ: $x = -\frac{2}{3}$

в) $0,3^x = \sqrt[4]{0,0081}$

Приведем правую часть уравнения к основанию 0,3.

Заметим, что $0,3^4 = 0,3 \cdot 0,3 \cdot 0,3 \cdot 0,3 = 0,09 \cdot 0,09 = 0,0081$.

Следовательно, правую часть можно переписать следующим образом:

$\sqrt[4]{0,0081} = \sqrt[4]{(0,3)^4}$

Так как основание 0,3 положительное, то $\sqrt[4]{(0,3)^4} = 0,3$. А $0,3$ это то же самое, что $0,3^1$.

Получаем уравнение:

$0,3^x = 0,3^1$

Так как основания равны, приравниваем показатели степеней:

$x = 1$

Ответ: $x = 1$

г) $(\frac{1}{5})^x = 25\sqrt{5}$

Приведем обе части уравнения к одному основанию, например, к основанию 5.

Преобразуем левую часть, используя свойство $a^{-1} = \frac{1}{a}$:

$(\frac{1}{5})^x = (5^{-1})^x = 5^{-x}$

Теперь преобразуем правую часть. Мы знаем, что $25 = 5^2$ и $\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}$.

$25\sqrt{5} = 5^2 \cdot 5^{\frac{1}{2}}$

Используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем:

$5^{2 + \frac{1}{2}} = 5^{\frac{4}{2} + \frac{1}{2}} = 5^{\frac{5}{2}}$

Уравнение принимает вид:

$5^{-x} = 5^{\frac{5}{2}}$

Приравниваем показатели степеней:

$-x = \frac{5}{2}$

$x = -\frac{5}{2}$

Ответ: $x = -\frac{5}{2}$