Номер 12.5, страница 73, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 12. Показательные уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 12.5, страница 73.

12.5. a) $3^{1-x} = \left(\frac{1}{3}\right)^{2x+3}$;

б) $6^{2x-8} = 216^x$;

В) $\left(\frac{1}{6}\right)^{4x-7} = 6^{x-3}$;

Г) $\left(\frac{2}{3}\right)^{8x+1} = 1,5^{2x-3}$.

а) $3^{1-x} = \left(\frac{1}{3}\right)^{2x+3}$

Чтобы решить это показательное уравнение, приведем обе части к одному основанию. В данном случае это основание 3. Поскольку дробь $\frac{1}{3}$ можно представить как $3^{-1}$, уравнение принимает следующий вид:

$3^{1-x} = (3^{-1})^{2x+3}$

Далее, используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{mn}$, мы упрощаем правую часть уравнения:

$3^{1-x} = 3^{-1 \cdot (2x+3)}$

$3^{1-x} = 3^{-2x-3}$

Теперь, когда основания в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:

$1-x = -2x-3$

Решим полученное линейное уравнение относительно $x$:

$2x - x = -3 - 1$

$x = -4$

Ответ: $x = -4$.

б) $6^{2x-8} = 216^x$

Для решения данного уравнения необходимо привести обе его части к общему основанию. Заметим, что $216$ является степенью числа $6$.

$6^2 = 36$, $6^3 = 216$.

Подставим $6^3$ вместо $216$ в исходное уравнение:

$6^{2x-8} = (6^3)^x$

Применяя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$6^{2x-8} = 6^{3x}$

Так как основания равны, приравниваем показатели степеней:

$2x-8 = 3x$

Решаем линейное уравнение:

$3x - 2x = -8$

$x = -8$

Ответ: $x = -8$.

в) $\left(\frac{1}{6}\right)^{4x-7} = 6^{x-3}$

Приведем обе части уравнения к общему основанию 6. Мы знаем, что $\frac{1}{6} = 6^{-1}$.

Подставим это выражение в левую часть уравнения:

$(6^{-1})^{4x-7} = 6^{x-3}$

Воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{mn}$ для левой части:

$6^{-1 \cdot (4x-7)} = 6^{x-3}$

$6^{-4x+7} = 6^{x-3}$

Теперь, когда основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$-4x+7 = x-3$

Решим полученное линейное уравнение:

$7+3 = x+4x$

$10 = 5x$

$x = \frac{10}{5} = 2$

Ответ: $x = 2$.

г) $\left(\frac{2}{3}\right)^{8x+1} = 1.5^{2x-3}$

Для решения этого уравнения приведем обе части к одному основанию. Сначала представим десятичную дробь $1.5$ в виде обыкновенной:

$1.5 = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$

Теперь уравнение выглядит так:

$\left(\frac{2}{3}\right)^{8x+1} = \left(\frac{3}{2}\right)^{2x-3}$

Основания $\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{2}$ являются взаимно обратными числами. Мы можем выразить одно через другое: $\frac{3}{2} = \left(\frac{2}{3}\right)^{-1}$.

Подставим это в правую часть уравнения:

$\left(\frac{2}{3}\right)^{8x+1} = \left(\left(\frac{2}{3}\right)^{-1}\right)^{2x-3}$

Используя свойство степени, упростим правую часть:

$\left(\frac{2}{3}\right)^{8x+1} = \left(\frac{2}{3}\right)^{-(2x-3)}$

$\left(\frac{2}{3}\right)^{8x+1} = \left(\frac{2}{3}\right)^{-2x+3}$

Приравниваем показатели степеней, так как основания равны:

$8x+1 = -2x+3$

Решаем линейное уравнение:

$8x+2x = 3-1$

$10x = 2$

$x = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} = 0.2$

Ответ: $x = 0.2$.