Номер 12.3, страница 73, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 12. Показательные уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 12.3, страница 73.

12.3. а) $0,3^x = \frac{1000}{27}$;

б) $(\frac{4}{5})^x = \frac{25}{16}$;

в) $0,7^x = \frac{1000}{343}$;

г) $(\frac{3}{2})^x = \frac{16}{81}$.

а) $0,3^x = \frac{1000}{27}$
Для решения этого показательного уравнения необходимо привести обе части к одному основанию.
Представим десятичную дробь $0,3$ в виде обыкновенной дроби: $0,3 = \frac{3}{10}$.
Тогда левая часть уравнения примет вид: $(\frac{3}{10})^x$.
Теперь преобразуем правую часть уравнения: $\frac{1000}{27} = \frac{10^3}{3^3} = (\frac{10}{3})^3$.
Получаем уравнение: $(\frac{3}{10})^x = (\frac{10}{3})^3$.
Чтобы основания стали одинаковыми, воспользуемся свойством степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, которое для дробей выглядит как $(\frac{b}{a})^n = (\frac{a}{b})^{-n}$.
Применим это свойство к правой части: $(\frac{10}{3})^3 = (\frac{3}{10})^{-3}$.
Теперь уравнение выглядит так: $(\frac{3}{10})^x = (\frac{3}{10})^{-3}$.
Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели: $x = -3$.
Ответ: -3

б) $(\frac{4}{5})^x = \frac{25}{16}$
Приведем обе части уравнения к основанию $\frac{4}{5}$.
Левая часть уже имеет нужное основание: $(\frac{4}{5})^x$.
Преобразуем правую часть: $\frac{25}{16} = \frac{5^2}{4^2} = (\frac{5}{4})^2$.
Уравнение принимает вид: $(\frac{4}{5})^x = (\frac{5}{4})^2$.
Основания $\frac{4}{5}$ и $\frac{5}{4}$ являются взаимно обратными числами. Используем свойство степени $(\frac{b}{a})^n = (\frac{a}{b})^{-n}$: $(\frac{5}{4})^2 = (\frac{4}{5})^{-2}$.
Подставим это в уравнение: $(\frac{4}{5})^x = (\frac{4}{5})^{-2}$.
Приравниваем показатели степеней, так как основания равны: $x = -2$.
Ответ: -2

в) $0,7^x = \frac{1000}{343}$
Приведем обе части уравнения к одному основанию.
Представим $0,7$ в виде дроби: $0,7 = \frac{7}{10}$. Левая часть: $(\frac{7}{10})^x$.
Преобразуем правую часть. Заметим, что $1000 = 10^3$ и $343 = 7^3$.
Следовательно, $\frac{1000}{343} = \frac{10^3}{7^3} = (\frac{10}{7})^3$.
Получаем уравнение: $(\frac{7}{10})^x = (\frac{10}{7})^3$.
Используя свойство $(\frac{b}{a})^n = (\frac{a}{b})^{-n}$, преобразуем правую часть: $(\frac{10}{7})^3 = (\frac{7}{10})^{-3}$.
Уравнение принимает вид: $(\frac{7}{10})^x = (\frac{7}{10})^{-3}$.
Приравнивая показатели степеней, получаем: $x = -3$.
Ответ: -3

г) $(\frac{3}{2})^x = \frac{16}{81}$
Приведем обе части уравнения к основанию $\frac{3}{2}$.
Левая часть уже в нужном виде: $(\frac{3}{2})^x$.
Преобразуем правую часть. Заметим, что $16 = 2^4$ и $81 = 3^4$.
Тогда $\frac{16}{81} = \frac{2^4}{3^4} = (\frac{2}{3})^4$.
Уравнение становится: $(\frac{3}{2})^x = (\frac{2}{3})^4$.
Основания $\frac{3}{2}$ и $\frac{2}{3}$ взаимно обратны. Преобразуем правую часть с помощью свойства $(\frac{b}{a})^n = (\frac{a}{b})^{-n}$: $(\frac{2}{3})^4 = (\frac{3}{2})^{-4}$.
Получаем: $(\frac{3}{2})^x = (\frac{3}{2})^{-4}$.
Приравниваем показатели, так как основания равны: $x = -4$.
Ответ: -4