Номер 11.78, страница 72, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 11. Показательная функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 11.78, страница 72.

11.78. a) Найдите наибольшее целочисленное значение функции $y = 10^{\sin 2x \cos 3x + \cos 2x \sin 3x + 0,5}$

b) Сколько целых чисел принадлежит области значений функции $y = 30 \cdot 3^{\cos 2,5x \cos 3,5x + \sin 2,5x \sin 3,5x - 2}$

а) Рассмотрим функцию $y = 10^{\sin 2x \cos 3x + \cos 2x \sin 3x + 0,5}$.

Выражение в показателе степени можно упростить, используя тригонометрическую формулу синуса суммы: $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$.

В нашем случае $\alpha = 2x$ и $\beta = 3x$, поэтому:

$\sin 2x \cos 3x + \cos 2x \sin 3x = \sin(2x + 3x) = \sin(5x)$.

Таким образом, функция принимает вид: $y = 10^{\sin(5x) + 0,5}$.

Чтобы найти наибольшее значение функции $y$, нужно найти наибольшее значение её показателя, так как основание степени $10 > 1$.

Область значений функции синус: $-1 \le \sin(5x) \le 1$.

Следовательно, наибольшее значение показателя степени равно:

$(\sin(5x) + 0,5)_{max} = 1 + 0,5 = 1,5$.

Тогда наибольшее значение функции $y$ равно:

$y_{max} = 10^{1,5} = 10^{3/2} = \sqrt{10^3} = \sqrt{1000}$.

Оценим значение $\sqrt{1000}$. Мы знаем, что $31^2 = 961$ и $32^2 = 1024$.

Поскольку $961 < 1000 < 1024$, то $31 < \sqrt{1000} < 32$.

Следовательно, наибольшее значение функции $y$ находится между 31 и 32. Наибольшее целое число, которое не превышает это значение, равно 31.

Ответ: 31

б) Рассмотрим функцию $y = 30 \cdot 3^{\cos 2,5x \cos 3,5x + \sin 2,5x \sin 3,5x} - 2$.

Упростим выражение в показателе степени, используя тригонометрическую формулу косинуса разности: $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$.

В нашем случае можно взять $\alpha = 3,5x$ и $\beta = 2,5x$, тогда:

$\cos 2,5x \cos 3,5x + \sin 2,5x \sin 3,5x = \cos(3,5x - 2,5x) = \cos x$.

Функция принимает вид: $y = 30 \cdot 3^{\cos x} - 2$.

Чтобы найти область значений функции $y$, найдем сначала область значений выражения $3^{\cos x}$.

Область значений функции косинус: $-1 \le \cos x \le 1$.

Поскольку функция $f(t) = 3^t$ возрастающая, её наименьшее и наибольшее значения достигаются при наименьшем и наибольшем значениях показателя $t = \cos x$.

Наименьшее значение $3^{\cos x}$ равно $3^{-1} = \frac{1}{3}$.

Наибольшее значение $3^{\cos x}$ равно $3^1 = 3$.

Таким образом, $ \frac{1}{3} \le 3^{\cos x} \le 3$.

Теперь найдем наименьшее и наибольшее значения функции $y$:

$y_{min} = 30 \cdot \frac{1}{3} - 2 = 10 - 2 = 8$.

$y_{max} = 30 \cdot 3 - 2 = 90 - 2 = 88$.

Область значений функции $y$ - это отрезок $[8, 88]$.

Найдем количество целых чисел, принадлежащих этому отрезку. Целые числа - это 8, 9, 10, ..., 88. Их количество равно:

$88 - 8 + 1 = 81$.

Ответ: 81