Номер 11.73, страница 72, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 11. Показательная функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 11.73, страница 72.

Решите неравенство:

11.73. a) $3^x \ge 4 - x;$

б) $(\frac{1}{2})^x \le x + 3;$

в) $5^x < 6 - x;$

г) $(\frac{1}{7})^x > x + 8.$

а)

Рассмотрим неравенство $3^x \ge 4 - x$.

Для решения этого неравенства используем функционально-графический метод. Введем две функции: $f(x) = 3^x$ и $g(x) = 4 - x$. Нам нужно найти все значения $x$, при которых $f(x) \ge g(x)$.

Функция $f(x) = 3^x$ является показательной с основанием $3 > 1$, следовательно, она строго возрастает на всей числовой оси.

Функция $g(x) = 4 - x$ является линейной с отрицательным угловым коэффициентом $-1$, следовательно, она строго убывает на всей числовой оси.

Так как одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, их графики могут пересечься не более чем в одной точке. Найдем эту точку, решив уравнение $f(x) = g(x)$, то есть $3^x = 4 - x$.

Методом подбора находим корень уравнения. При $x=1$ получаем: $3^1 = 3$ и $4 - 1 = 3$. Равенство $3=3$ верное, значит, $x=1$ — единственный корень уравнения, и это абсцисса точки пересечения графиков.

Поскольку $f(x)$ возрастает, а $g(x)$ убывает, то при $x > 1$ будет выполняться неравенство $f(x) > g(x)$, а при $x < 1$ — неравенство $f(x) < g(x)$. В точке $x=1$ функции равны. Исходное неравенство $3^x \ge 4 - x$ выполняется при $x \ge 1$.

Ответ: $x \ge 1$.

б)

Рассмотрим неравенство $(\frac{1}{2})^x \le x + 3$.

Введем две функции: $f(x) = (\frac{1}{2})^x$ и $g(x) = x + 3$. Нам нужно найти все значения $x$, при которых $f(x) \le g(x)$.

Функция $f(x) = (\frac{1}{2})^x$ является показательной с основанием $0 < \frac{1}{2} < 1$, следовательно, она строго убывает на всей числовой оси.

Функция $g(x) = x + 3$ является линейной с положительным угловым коэффициентом $1$, следовательно, она строго возрастает на всей числовой оси.

Так как одна функция строго убывает, а другая строго возрастает, их графики могут пересечься не более чем в одной точке. Найдем точку пересечения, решив уравнение $(\frac{1}{2})^x = x + 3$.

Подбором находим корень. При $x=-1$ получаем: $(\frac{1}{2})^{-1} = 2$ и $-1 + 3 = 2$. Равенство $2=2$ верное, значит, $x=-1$ — единственный корень уравнения.

При $x > -1$ убывающая функция $f(x)$ будет принимать значения меньше, чем возрастающая функция $g(x)$ (то есть $f(x) < g(x)$). При $x < -1$ будет $f(x) > g(x)$. В точке $x=-1$ функции равны. Исходное неравенство $(\frac{1}{2})^x \le x + 3$ выполняется при $x \ge -1$.

Ответ: $x \ge -1$.

в)

Рассмотрим неравенство $5^x < 6 - x$.

Введем две функции: $f(x) = 5^x$ и $g(x) = 6 - x$. Нам нужно найти все значения $x$, при которых $f(x) < g(x)$.

Функция $f(x) = 5^x$ является показательной с основанием $5 > 1$, следовательно, она строго возрастает.

Функция $g(x) = 6 - x$ является линейной, она строго убывает.

Графики этих функций могут пересечься не более чем в одной точке. Найдем ее, решив уравнение $5^x = 6 - x$.

Подбором находим корень $x=1$, так как $5^1 = 5$ и $6 - 1 = 5$.

Так как $f(x)$ возрастает, а $g(x)$ убывает, то при $x < 1$ значения $f(x)$ будут меньше значений $g(x)$, то есть $f(x) < g(x)$. При $x > 1$ будет $f(x) > g(x)$. Исходное неравенство строгое, поэтому точка $x=1$ не включается в решение.

Ответ: $x < 1$.

г)

Рассмотрим неравенство $(\frac{1}{7})^x > x + 8$.

Введем две функции: $f(x) = (\frac{1}{7})^x$ и $g(x) = x + 8$. Нам нужно найти все значения $x$, при которых $f(x) > g(x)$.

Функция $f(x) = (\frac{1}{7})^x$ является показательной с основанием $0 < \frac{1}{7} < 1$, следовательно, она строго убывает.

Функция $g(x) = x + 8$ является линейной, она строго возрастает.

Графики этих функций могут пересечься не более чем в одной точке. Найдем ее, решив уравнение $(\frac{1}{7})^x = x + 8$.

Подбором находим корень $x=-1$, так как $(\frac{1}{7})^{-1} = 7$ и $-1 + 8 = 7$.

Так как $f(x)$ убывает, а $g(x)$ возрастает, то при $x < -1$ значения $f(x)$ будут больше значений $g(x)$, то есть $f(x) > g(x)$. При $x > -1$ будет $f(x) < g(x)$. Исходное неравенство строгое, поэтому точка $x=-1$ не включается в решение.

Ответ: $x < -1$.