Номер 11.67, страница 71, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 11. Показательная функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 11.67, страница 71.

11.67. a) $3^x + 1 = \frac{4}{x}$;

б) $3^x + 3 = \frac{24}{x}$.

а) $3^x + 1 = \frac{4}{x}$

Данное уравнение является трансцендентным, и его удобнее всего решать графическим или аналитическим методом. Определим область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель дроби не может быть равен нулю, следовательно, $x \neq 0$.

Рассмотрим две функции, соответствующие левой и правой частям уравнения: $y_1 = 3^x + 1$ и $y_2 = \frac{4}{x}$.

Проанализируем поведение этих функций:

• Функция $y_1 = 3^x + 1$ является показательной. Так как основание степени $3 > 1$, функция монотонно возрастает на всей своей области определения (все действительные числа).
• Функция $y_2 = \frac{4}{x}$ является гиперболой. Эта функция монотонно убывает на каждом из промежутков своей области определения: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

Рассмотрим два случая:

1. Пусть $x > 0$. На этом промежутке функция $y_1 = 3^x + 1$ монотонно возрастает, а функция $y_2 = \frac{4}{x}$ монотонно убывает. Это означает, что графики этих функций могут пересечься не более одного раза. Найдем корень подбором. Попробуем $x = 1$:
Левая часть: $y_1(1) = 3^1 + 1 = 4$.
Правая часть: $y_2(1) = \frac{4}{1} = 4$.
Так как $4 = 4$, то $x = 1$ является корнем уравнения. В силу монотонности функций, это единственный корень на промежутке $x > 0$.

2. Пусть $x < 0$. На этом промежутке показательная функция $3^x$ принимает значения в интервале $(0; 1)$, следовательно, значения функции $y_1 = 3^x + 1$ лежат в интервале $(1; 2)$. То есть, $y_1 > 0$. В то же время, для $x < 0$ функция $y_2 = \frac{4}{x}$ принимает только отрицательные значения, то есть, $y_2 < 0$. Поскольку положительное число не может равняться отрицательному, на промежутке $x < 0$ корней нет.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $x = 1$.

---

б) $3^x + 3 = \frac{24}{x}$

Аналогично предыдущему пункту, решим данное уравнение аналитическим методом. ОДЗ: $x \neq 0$.

Рассмотрим функции $y_1 = 3^x + 3$ и $y_2 = \frac{24}{x}$.

• Функция $y_1 = 3^x + 3$ монотонно возрастает на всей области определения.
• Функция $y_2 = \frac{24}{x}$ монотонно убывает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

Рассмотрим два случая:

1. Пусть $x > 0$. На этом промежутке возрастающая функция $y_1$ и убывающая функция $y_2$ могут иметь не более одной точки пересечения. Найдем возможное решение подбором. Попробуем $x = 2$:
Левая часть: $y_1(2) = 3^2 + 3 = 9 + 3 = 12$.
Правая часть: $y_2(2) = \frac{24}{2} = 12$.
Так как $12 = 12$, $x = 2$ является единственным корнем на данном промежутке.

2. Пусть $x < 0$. На этом промежутке $y_1 = 3^x + 3 > 3$, так как $3^x > 0$. То есть $y_1$ принимает только положительные значения. Функция $y_2 = \frac{24}{x}$ для $x < 0$ принимает только отрицательные значения, $y_2 < 0$. Следовательно, на этом промежутке равенство невозможно, и корней нет.

Уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $x = 2$.