Номер 11.69, страница 71, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 11. Показательная функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 11.69, страница 71.

11.69. a) $2^x - 1 = \sqrt{x}$;

Б) $\left(\frac{1}{4}\right)^x = \sqrt{x} + 1$;

В) $3^x - 1 = -\sqrt{x}$;

Г) $\left(\frac{1}{3}\right)^x = \sqrt{x} - \frac{2}{3}$.

а) $2^x - 1 = \sqrt{x}$
Данное уравнение является трансцендентным, и его удобнее решать графически или с помощью анализа свойств функций.
Рассмотрим две функции: $y_1 = 2^x - 1$ и $y_2 = \sqrt{x}$. Корень уравнения — это абсцисса точки пересечения графиков этих функций.
Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения определяется условием $x \ge 0$, так как подкоренное выражение не может быть отрицательным.
Функция $y_1 = 2^x - 1$ является показательной, строго возрастающей на всей числовой прямой, а значит и на ОДЗ.
Функция $y_2 = \sqrt{x}$ также является строго возрастающей на своей области определения.
Подберем возможные корни.
Проверим $x=0$: $2^0 - 1 = 1 - 1 = 0$. $\sqrt{0} = 0$. Равенство $0 = 0$ верно. Значит, $x=0$ — корень уравнения.
Проверим $x=1$: $2^1 - 1 = 2 - 1 = 1$. $\sqrt{1} = 1$. Равенство $1 = 1$ верно. Значит, $x=1$ — также корень уравнения.
Чтобы доказать, что других корней нет, рассмотрим функцию $h(x) = 2^x - 1 - \sqrt{x}$. Найдем ее вторую производную:
$h'(x) = 2^x \ln(2) - \frac{1}{2\sqrt{x}}$
$h''(x) = 2^x (\ln(2))^2 + \frac{1}{4x\sqrt{x}}$
На ОДЗ ($x > 0$) $h''(x) > 0$, следовательно, функция $h(x)$ является выпуклой вниз. Выпуклая функция может иметь не более двух корней. Поскольку мы уже нашли два корня ($x=0$ и $x=1$), других корней у уравнения нет.
Ответ: $0; 1$.

б) $(\frac{1}{4})^x = \sqrt{x} + 1$
Рассмотрим две функции: $y_1 = (\frac{1}{4})^x$ и $y_2 = \sqrt{x} + 1$.
ОДЗ уравнения: $x \ge 0$.
Функция $y_1 = (\frac{1}{4})^x$ является показательной с основанием меньше 1, поэтому она строго убывает на всей числовой прямой.
Функция $y_2 = \sqrt{x} + 1$ является строго возрастающей на своей области определения $x \ge 0$.
Строго убывающая и строго возрастающая функции могут пересечься не более одного раза. Следовательно, уравнение может иметь не более одного корня.
Найдем корень подбором. Проверим $x=0$:
Левая часть: $(\frac{1}{4})^0 = 1$.
Правая часть: $\sqrt{0} + 1 = 1$.
Равенство $1 = 1$ верно. Значит, $x=0$ является единственным корнем уравнения.
Ответ: $0$.

в) $3^x - 1 = -\sqrt{x}$
Рассмотрим две функции: $y_1 = 3^x - 1$ и $y_2 = -\sqrt{x}$.
ОДЗ уравнения: $x \ge 0$.
Функция $y_1 = 3^x - 1$ — строго возрастающая.
Функция $y_2 = -\sqrt{x}$ — строго убывающая на своей области определения $x \ge 0$.
Строго возрастающая и строго убывающая функции могут иметь не более одной точки пересечения.
Проверим $x=0$:
Левая часть: $3^0 - 1 = 1 - 1 = 0$.
Правая часть: $-\sqrt{0} = 0$.
Равенство $0 = 0$ верно. Значит, $x=0$ является единственным корнем.
Можно также отметить, что при $x > 0$ левая часть $3^x - 1 > 0$, а правая часть $-\sqrt{x} < 0$, поэтому других корней быть не может.
Ответ: $0$.

г) $(\frac{1}{3})^x = \sqrt{x} - \frac{2}{3}$
Рассмотрим две функции: $y_1 = (\frac{1}{3})^x$ и $y_2 = \sqrt{x} - \frac{2}{3}$.
ОДЗ уравнения: $x \ge 0$.
Функция $y_1 = (\frac{1}{3})^x$ является строго убывающей.
Функция $y_2 = \sqrt{x} - \frac{2}{3}$ является строго возрастающей на своей области определения.
Следовательно, уравнение имеет не более одного корня.
Найдем этот корень подбором. Проверим $x=1$:
Левая часть: $(\frac{1}{3})^1 = \frac{1}{3}$.
Правая часть: $\sqrt{1} - \frac{2}{3} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
Равенство $\frac{1}{3} = \frac{1}{3}$ верно. Значит, $x=1$ является единственным корнем уравнения.
Ответ: $1$.