Номер 11.75, страница 72, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 11. Показательная функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 11.75, страница 72.

11.75. a) $2^x + 1 \ge \cos x;$

Б) $2^{|x|} + 1 > 2 \cos x;$

В) $(\frac{1}{3})^x + 1 < \sin x;$

Г) $3^{|x|} \le \cos 2x.$

а) $2^x + 1 \ge \cos x$

Рассмотрим левую и правую части неравенства как отдельные функции.
Левая часть: $f(x) = 2^x + 1$. Так как показательная функция $2^x$ всегда положительна ($2^x > 0$ для любого действительного $x$), то $f(x) = 2^x + 1 > 1$. Таким образом, область значений левой части — это интервал $(1, +\infty)$.
Правая часть: $g(x) = \cos x$. Область значений функции косинус — это отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \cos x \le 1$.
Сравнивая значения, которые могут принимать левая и правая части, мы видим, что левая часть всегда строго больше 1, а правая часть никогда не превышает 1. То есть, для любого действительного числа $x$ выполняется $2^x + 1 > 1 \ge \cos x$.
Следовательно, неравенство $2^x + 1 \ge \cos x$ справедливо для всех действительных $x$.
Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

б) $2^{|x|} + 1 > 2 \cos x$

Оценим значения левой и правой частей неравенства.
Левая часть: $f(x) = 2^{|x|} + 1$. Поскольку $|x| \ge 0$ для любого $x$, а показательная функция $y=2^t$ является возрастающей, то $2^{|x|} \ge 2^0 = 1$. Отсюда следует, что $f(x) = 2^{|x|} + 1 \ge 1 + 1 = 2$. Равенство $f(x) = 2$ достигается только при $|x|=0$, то есть при $x=0$. Для всех $x \ne 0$ выполняется строгое неравенство $f(x) > 2$.
Правая часть: $g(x) = 2 \cos x$. Область значений функции $\cos x$ — это $[-1, 1]$, следовательно, область значений функции $g(x)$ — это отрезок $[-2, 2]$. Максимальное значение, равное 2, достигается, когда $\cos x = 1$, то есть при $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Исходное неравенство $2^{|x|} + 1 > 2 \cos x$. Мы установили, что левая часть всегда не меньше 2, а правая часть всегда не больше 2. Неравенство может не выполняться только в том случае, если левая часть равна правой. Это возможно лишь тогда, когда обе части равны 2.
Система уравнений:
$\begin{cases} 2^{|x|} + 1 = 2 \\ 2 \cos x = 2 \end{cases}$
Из первого уравнения получаем $2^{|x|} = 1$, что означает $|x|=0$, то есть $x=0$.
Подставив $x=0$ во второе уравнение, получаем $2 \cos(0) = 2 \cdot 1 = 2$, что верно.
Значит, при $x=0$ левая и правая части неравенства равны: $2^{|0|} + 1 = 2$ и $2 \cos(0) = 2$. В этом случае исходное неравенство принимает вид $2 > 2$, что является ложным.
Для всех остальных $x \ne 0$, левая часть $2^{|x|} + 1 > 2$, а правая часть $2 \cos x \le 2$, поэтому неравенство $2^{|x|} + 1 > 2 \cos x$ всегда выполняется.
Таким образом, решением являются все действительные числа, кроме $x=0$.
Ответ: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

в) $(\frac{1}{3})^x + 1 < \sin x$

Оценим значения левой и правой частей неравенства.
Левая часть: $f(x) = (\frac{1}{3})^x + 1$. Так как показательная функция $(\frac{1}{3})^x$ всегда принимает положительные значения, то есть $(\frac{1}{3})^x > 0$, то левая часть всегда строго больше 1: $f(x) > 1$.
Правая часть: $g(x) = \sin x$. Область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$. То есть, $\sin x \le 1$ для любого $x$.
Неравенство требует, чтобы значение левой части было меньше значения правой. Однако мы установили, что $f(x) > 1$, а $g(x) \le 1$. Это означает, что для любого действительного $x$ левая часть всегда больше правой.
Следовательно, неравенство $(\frac{1}{3})^x + 1 < \sin x$ не имеет решений.
Ответ: $\emptyset$.

г) $3^{|x|} \le \cos(2x)$

Оценим значения левой и правой частей неравенства.
Левая часть: $f(x) = 3^{|x|}$. Так как $|x| \ge 0$ и функция $y=3^t$ является возрастающей, то $3^{|x|} \ge 3^0 = 1$. Минимальное значение левой части равно 1 и достигается только при $x=0$.
Правая часть: $g(x) = \cos(2x)$. Область значений функции косинус — это отрезок $[-1, 1]$. Максимальное значение правой части равно 1.
Неравенство $f(x) \le g(x)$ может выполняться только в том случае, когда $f(x) \ge 1$ и $g(x) \le 1$ одновременно. Это возможно лишь в точке, где обе части принимают свое предельное значение, то есть равны 1.
$f(x) = 3^{|x|} = 1$ и $g(x) = \cos(2x) = 1$.
Из уравнения $3^{|x|} = 1$ следует, что $|x|=0$, откуда $x=0$.
Проверим, выполняется ли второе равенство при $x=0$: $\cos(2 \cdot 0) = \cos(0) = 1$.
Поскольку при $x=0$ обе части неравенства равны 1, неравенство $1 \le 1$ выполняется. Это единственное возможное решение.
Ответ: $\{0\}$.