Номер 11.81, страница 72, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 11. Показательная функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 11.81, страница 72.

11.81. При каких значениях $x$ график функции $y = f(x)$ располагается не ниже графика функции $y = g(x)$, если:

а) $f(x) = 25 \cos 2x - \sin^4 x$, $g(x) = 25 \cdot 5^{(\pi - x)^2}$;

б) $f(x) = 7^{1 - |6x - 5\pi|}$, $g(x) = \sin^2 x - \sin x + 7,25$?

а)

Требуется найти значения x, при которых выполняется неравенство f(x) ≥ g(x), где $f(x) = 25 \cos 2x - \sin^4 x$ и $g(x) = 25 \cdot 5^{(\pi - x)^2}$.

Рассмотрим функцию f(x). Преобразуем ее, используя тригонометрическую формулу косинуса двойного угла $ \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x $:
$f(x) = 25(1 - 2\sin^2 x) - \sin^4 x = 25 - 50\sin^2 x - \sin^4 x$.

Поскольку $\sin^2 x \geq 0$ и $\sin^4 x \geq 0$, то сумма $50\sin^2 x + \sin^4 x \geq 0$.
Следовательно, $f(x) = 25 - (50\sin^2 x + \sin^4 x) \leq 25$.
Максимальное значение функции f(x) равно 25. Это значение достигается, когда $50\sin^2 x + \sin^4 x = 0$, что возможно только при $\sin x = 0$.
Уравнение $\sin x = 0$ имеет решения $x = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь рассмотрим функцию g(x).
$g(x) = 25 \cdot 5^{(\pi - x)^2}$.
Показатель степени $(\pi - x)^2$ всегда неотрицателен: $(\pi - x)^2 \geq 0$.
Так как основание степени 5 > 1, показательная функция $5^y$ является возрастающей. Ее наименьшее значение достигается при наименьшем значении показателя.
Наименьшее значение $5^{(\pi - x)^2}$ равно $5^0 = 1$. Это значение достигается, когда $(\pi - x)^2 = 0$, то есть при $x = \pi$.
Следовательно, наименьшее значение функции g(x) равно $25 \cdot 1 = 25$. Таким образом, $g(x) \geq 25$.

Исходное неравенство $f(x) \geq g(x)$ может выполняться только в том случае, когда обе части неравенства равны.
Мы установили, что $f(x) \leq 25$ и $g(x) \geq 25$.
Значит, неравенство $f(x) \geq g(x)$ эквивалентно системе уравнений:
$\begin{cases} f(x) = 25 \\ g(x) = 25 \end{cases}$

Из первого уравнения $f(x) = 25$ мы получили $x = k\pi, k \in \mathbb{Z}$.
Из второго уравнения $g(x) = 25$ мы получили $x = \pi$.
Единственным значением x, удовлетворяющим обоим условиям, является $x = \pi$ (что соответствует случаю $k=1$).

Ответ: $x = \pi$.

б)

Требуется найти значения x, при которых выполняется неравенство f(x) ≥ g(x), где $f(x) = 7^{1 - |6x - 5\pi|}$ и $g(x) = \sin^2 x - \sin x + 7,25$.

Рассмотрим функцию f(x).
$f(x) = 7^{1 - |6x - 5\pi|}$.
Выражение в модуле всегда неотрицательно: $|6x - 5\pi| \geq 0$.
Следовательно, показатель степени $1 - |6x - 5\pi| \leq 1$.
Так как основание степени 7 > 1, показательная функция $7^y$ является возрастающей. Ее максимальное значение достигается при максимальном значении показателя.
Максимальное значение функции f(x) равно $7^1 = 7$. Это значение достигается, когда $|6x - 5\pi| = 0$, то есть при $x = \frac{5\pi}{6}$.
Таким образом, для всех x выполняется $f(x) \leq 7$.

Теперь рассмотрим функцию g(x).
$g(x) = \sin^2 x - \sin x + 7,25$.
Сделаем замену $t = \sin x$, где $-1 \leq t \leq 1$.
Рассмотрим квадратичную функцию $h(t) = t^2 - t + 7,25$ на отрезке $[-1, 1]$.
Выделим полный квадрат: $h(t) = (t^2 - t + (\frac{1}{2})^2) - (\frac{1}{2})^2 + 7,25 = (t - 0,5)^2 - 0,25 + 7,25 = (t - 0,5)^2 + 7$.
Это парабола с ветвями вверх, вершина которой находится в точке $t = 0,5$.
Поскольку $0,5 \in [-1, 1]$, наименьшее значение функции $h(t)$ на этом отрезке достигается в вершине и равно 7.
Следовательно, наименьшее значение функции g(x) равно 7. Это значение достигается, когда $\sin x = 0,5$.
Таким образом, для всех x выполняется $g(x) \geq 7$.

Исходное неравенство $f(x) \geq g(x)$ может выполняться только в том случае, когда $f(x) = 7$ и $g(x) = 7$.
Это эквивалентно системе уравнений:
$\begin{cases} f(x) = 7 \\ g(x) = 7 \end{cases}$

Из первого уравнения $f(x) = 7$ мы получили $x = \frac{5\pi}{6}$.
Из второго уравнения $g(x) = 7$ мы получили $\sin x = 0,5$.
Проверим, является ли $x = \frac{5\pi}{6}$ решением второго уравнения:
$\sin(\frac{5\pi}{6}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{6}) = 0,5$.
Условие выполняется. Следовательно, единственным решением неравенства является $x = \frac{5\pi}{6}$.

Ответ: $x = \frac{5\pi}{6}$.