Номер 12.4, страница 73, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 12. Показательные уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 12.4, страница 73.

12.4. a) $2^{x+1} = 4;$

б) $5^{3x-1} = 0,2;$

В) $0,4^{4-5x} = 0,16\sqrt{0,4};$

Г) $(\frac{1}{2})^{2-x} = 8\sqrt{2}.$

а) Чтобы решить показательное уравнение $2^{x+1} = 4$, необходимо привести обе его части к одному и тому же основанию. В левой части основание равно 2. Представим число 4 в правой части как степень с основанием 2: $4 = 2^2$. После этого уравнение принимает вид: $2^{x+1} = 2^2$. Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели: $x+1 = 2$. Решая это линейное уравнение, находим $x$: $x = 2 - 1$, следовательно, $x = 1$.
Ответ: $1$.

б) Рассмотрим уравнение $5^{3x-1} = 0,2$. Для его решения также приведем обе части к одному основанию, которым в данном случае будет 5. Десятичную дробь 0,2 представим в виде обыкновенной дроби: $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$. Используя свойство отрицательной степени ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$), запишем $\frac{1}{5}$ как $5^{-1}$. Теперь уравнение выглядит так: $5^{3x-1} = 5^{-1}$. Так как основания равны, приравниваем показатели степеней: $3x-1 = -1$. Решаем полученное уравнение: $3x = -1 + 1$, то есть $3x = 0$. Отсюда $x = 0$.
Ответ: $0$.

в) Исходное уравнение: $0,4^{4-5x} = 0,16\sqrt{0,4}$. Приведем обе части уравнения к основанию 0,4. Преобразуем правую часть уравнения. Заметим, что $0,16 = (0,4)^2$. Квадратный корень из 0,4 можно записать в виде степени: $\sqrt{0,4} = (0,4)^{1/2}$. Таким образом, правая часть уравнения равна $(0,4)^2 \cdot (0,4)^{1/2}$. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $(0,4)^{2 + 1/2} = (0,4)^{2,5}$. Теперь уравнение имеет вид: $0,4^{4-5x} = 0,4^{2,5}$. Приравниваем показатели степеней: $4-5x = 2,5$. Решаем это линейное уравнение: $-5x = 2,5 - 4$, $-5x = -1,5$. Находим $x$: $x = \frac{-1,5}{-5} = 0,3$.
Ответ: $0,3$.

г) Дано уравнение $(\frac{1}{2})^{2-x} = 8\sqrt{2}$. Приведем обе части к основанию 2. Преобразуем левую часть: $\frac{1}{2} = 2^{-1}$, тогда $(\frac{1}{2})^{2-x} = (2^{-1})^{2-x}$. При возведении степени в степень показатели перемножаются: $2^{-1 \cdot (2-x)} = 2^{-2+x} = 2^{x-2}$. Теперь преобразуем правую часть. Число 8 — это $2^3$, а $\sqrt{2}$ — это $2^{1/2}$. Значит, $8\sqrt{2} = 2^3 \cdot 2^{1/2}$. Складываем показатели: $2^{3 + 1/2} = 2^{3,5}$. Уравнение принимает вид: $2^{x-2} = 2^{3,5}$. Приравниваем показатели: $x-2 = 3,5$. Находим $x$: $x = 3,5 + 2 = 5,5$.
Ответ: $5,5$.