Номер 12.7, страница 73, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 12. Показательные уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 12.7, страница 73.

12.7. a) $2^x \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^x = \frac{1}{9};$

б) $\left(\frac{1}{5}\right)^x \cdot 3^x = \sqrt{\frac{27}{125}};$

в) $5^x \cdot 2^x = 0,1^{-3};$

г) $0,3^x \cdot 3^x = \sqrt[3]{0,81}.$

а) Дано уравнение $2^x \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^x = \frac{1}{9}$.
Используя свойство степеней $a^n \cdot b^n = (ab)^n$, преобразуем левую часть уравнения:
$2^x \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^x = \left(2 \cdot \frac{3}{2}\right)^x = 3^x$.
Теперь представим правую часть уравнения в виде степени с основанием 3:
$\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2}$.
Уравнение принимает вид:
$3^x = 3^{-2}$.
Поскольку основания степеней равны, их показатели также должны быть равны.
$x = -2$.
Ответ: -2.

б) Дано уравнение $\left(\frac{1}{5}\right)^x \cdot 3^x = \sqrt{\frac{27}{125}}$.
Упростим левую часть, применив свойство степеней:
$\left(\frac{1}{5}\right)^x \cdot 3^x = \left(\frac{1}{5} \cdot 3\right)^x = \left(\frac{3}{5}\right)^x$.
Преобразуем правую часть. Представим числа под корнем в виде степеней и запишем корень как степень с дробным показателем:
$\sqrt{\frac{27}{125}} = \sqrt{\frac{3^3}{5^3}} = \sqrt{\left(\frac{3}{5}\right)^3} = \left(\left(\frac{3}{5}\right)^3\right)^{\frac{1}{2}} = \left(\frac{3}{5}\right)^{\frac{3}{2}}$.
Теперь уравнение выглядит так:
$\left(\frac{3}{5}\right)^x = \left(\frac{3}{5}\right)^{\frac{3}{2}}$.
Приравниваем показатели степеней, так как основания равны:
$x = \frac{3}{2}$.
Ответ: $\frac{3}{2}$.

в) Дано уравнение $5^x \cdot 2^x = 0,1^{-3}$.
Преобразуем левую часть уравнения:
$5^x \cdot 2^x = (5 \cdot 2)^x = 10^x$.
Теперь преобразуем правую часть. Запишем 0,1 как степень числа 10:
$0,1 = \frac{1}{10} = 10^{-1}$.
Тогда $0,1^{-3} = (10^{-1})^{-3} = 10^{(-1) \cdot (-3)} = 10^3$.
Уравнение принимает вид:
$10^x = 10^3$.
Приравниваем показатели степеней:
$x = 3$.
Ответ: 3.

г) Дано уравнение $0,3^x \cdot 3^x = \sqrt[3]{0,81}$.
Упростим левую часть:
$0,3^x \cdot 3^x = (0,3 \cdot 3)^x = 0,9^x$.
Преобразуем правую часть. Представим подкоренное выражение как степень с основанием 0,9 и запишем кубический корень как степень $\frac{1}{3}$:
$\sqrt[3]{0,81} = \sqrt[3]{0,9^2} = (0,9^2)^{\frac{1}{3}} = 0,9^{2 \cdot \frac{1}{3}} = 0,9^{\frac{2}{3}}$.
Получаем уравнение:
$0,9^x = 0,9^{\frac{2}{3}}$.
Поскольку основания равны, приравниваем показатели:
$x = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$.