Номер 12.12, страница 74, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 12. Показательные уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 12.12, страница 74.

12.12. a) $27^{\sqrt{x-1}} = \sqrt{9^{x+1}}$;

б) $2^{\sqrt{13-x^2}} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{32}$;

В) $3^x \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{\sqrt{x+1}} = 243$;

Г) $(0.1^{\sqrt{x+1}})^{\sqrt{x+6}} = \frac{1}{10^6}$.

а) Исходное уравнение: $27^{\sqrt{x-1}} = \sqrt{9^{x+1}}$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x-1 \ge 0$, откуда $x \ge 1$.
Приведем обе части уравнения к основанию 3.
Левая часть: $27^{\sqrt{x-1}} = (3^3)^{\sqrt{x-1}} = 3^{3\sqrt{x-1}}$.
Правая часть: $\sqrt{9^{x+1}} = (9^{x+1})^{\frac{1}{2}} = ((3^2)^{x+1})^{\frac{1}{2}} = (3^{2(x+1)})^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{2(x+1)}{2}} = 3^{x+1}$.
Получаем уравнение: $3^{3\sqrt{x-1}} = 3^{x+1}$.
Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:
$3\sqrt{x-1} = x+1$.
Так как $x \ge 1$, правая часть $x+1$ положительна. Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(3\sqrt{x-1})^2 = (x+1)^2$
$9(x-1) = x^2 + 2x + 1$
$9x - 9 = x^2 + 2x + 1$
$x^2 - 7x + 10 = 0$.
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = 5$.
Оба корня удовлетворяют условию ОДЗ ($x \ge 1$).
Проверим корни, подставив их в уравнение $3\sqrt{x-1} = x+1$:
При $x=2$: $3\sqrt{2-1} = 2+1 \Rightarrow 3\sqrt{1} = 3 \Rightarrow 3 = 3$. Верно.
При $x=5$: $3\sqrt{5-1} = 5+1 \Rightarrow 3\sqrt{4} = 6 \Rightarrow 3 \cdot 2 = 6$. Верно.
Ответ: 2; 5.

б) Исходное уравнение: $2^{\sqrt{13-x^2}} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{32}$.
Найдем ОДЗ: $13-x^2 \ge 0 \Rightarrow x^2 \le 13 \Rightarrow -\sqrt{13} \le x \le \sqrt{13}$.
Упростим правую часть уравнения: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{32} = \sqrt{2 \cdot 32} = \sqrt{64} = 8$.
Представим 8 в виде степени с основанием 2: $8 = 2^3$.
Уравнение принимает вид: $2^{\sqrt{13-x^2}} = 2^3$.
Приравниваем показатели степеней:
$\sqrt{13-x^2} = 3$.
Возведем обе части в квадрат:
$13-x^2 = 9$
$x^2 = 13 - 9$
$x^2 = 4$.
Корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($-\sqrt{13} \le x \le \sqrt{13}$).
Ответ: -2; 2.

в) Исходное уравнение: $3^x \cdot (\frac{1}{3})^{\sqrt{x+1}} = 243$.
Найдем ОДЗ: $x+1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1$.
Приведем все части уравнения к основанию 3.
$(\frac{1}{3})^{\sqrt{x+1}} = (3^{-1})^{\sqrt{x+1}} = 3^{-\sqrt{x+1}}$.
$243 = 3^5$.
Подставим в исходное уравнение: $3^x \cdot 3^{-\sqrt{x+1}} = 3^5$.
Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем:
$3^{x - \sqrt{x+1}} = 3^5$.
Приравниваем показатели:
$x - \sqrt{x+1} = 5$.
Изолируем корень: $x-5 = \sqrt{x+1}$.
Для существования решения необходимо, чтобы правая часть (арифметический корень) была неотрицательной. Это уже учтено в ОДЗ. Также левая часть должна быть неотрицательной: $x-5 \ge 0 \Rightarrow x \ge 5$. Это более сильное ограничение, чем ОДЗ.
Возведем обе части в квадрат при условии $x \ge 5$:
$(x-5)^2 = x+1$
$x^2 - 10x + 25 = x+1$
$x^2 - 11x + 24 = 0$.
По теореме Виета, корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = 8$.
Проверяем корни по условию $x \ge 5$.
$x_1 = 3$ не удовлетворяет условию $3 \ge 5$, значит, это посторонний корень.
$x_2 = 8$ удовлетворяет условию $8 \ge 5$.
Ответ: 8.

г) Исходное уравнение: $(0.1^{\sqrt{x+1}})^{\sqrt{x+6}} = \frac{1}{10^6}$.
Найдем ОДЗ. Выражения под корнями должны быть неотрицательными:
$x+1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1$
$x+6 \ge 0 \Rightarrow x \ge -6$.
Общее ОДЗ: $x \ge -1$.
Приведем обе части уравнения к основанию 10.
$0.1 = 10^{-1}$ и $\frac{1}{10^6} = 10^{-6}$.
Левая часть: $( (10^{-1})^{\sqrt{x+1}} )^{\sqrt{x+6}} = 10^{-\sqrt{x+1} \cdot \sqrt{x+6}} = 10^{-\sqrt{(x+1)(x+6)}}$.
Уравнение принимает вид: $10^{-\sqrt{(x+1)(x+6)}} = 10^{-6}$.
Приравниваем показатели:
$-\sqrt{(x+1)(x+6)} = -6$
$\sqrt{(x+1)(x+6)} = 6$.
Возведем обе части в квадрат:
$(x+1)(x+6) = 36$
$x^2 + 6x + x + 6 = 36$
$x^2 + 7x - 30 = 0$.
Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169 = 13^2$.
$x_1 = \frac{-7+13}{2} = \frac{6}{2} = 3$.
$x_2 = \frac{-7-13}{2} = \frac{-20}{2} = -10$.
Проверяем корни по ОДЗ ($x \ge -1$):
$x_1 = 3$ удовлетворяет условию $3 \ge -1$.
$x_2 = -10$ не удовлетворяет условию $-10 \ge -1$, это посторонний корень.
Ответ: 3.