Номер 12.19, страница 75, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 12. Показательные уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 12.19, страница 75.

12.19. a) $2^{3x} - 6 \cdot 2^{2x} + 12 \cdot 2^x - 8 = 0;$

б) $\left(\frac{1}{2}\right)^{3x} - 12 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{2x} + 48 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x - 64 = 0;$

в) $5^x + 6 \cdot \left(\sqrt[3]{25}\right)^x + 12 \cdot \left(\sqrt[3]{5}\right)^x + 8 = 343;$

г) $2^x + 3 \cdot \left(\sqrt[3]{4}\right)^x + 3 \cdot \left(\sqrt[3]{2}\right)^x + 1 = 27.$

а) $2^{3x} - 6 \cdot 2^{2x} + 12 \cdot 2^x - 8 = 0$

Перепишем уравнение, используя свойства степени: $(2^x)^3 - 6 \cdot (2^x)^2 + 12 \cdot 2^x - 8 = 0$.
Введем замену переменной. Пусть $y = 2^x$. Тогда уравнение примет вид:
$y^3 - 6y^2 + 12y - 8 = 0$.
Заметим, что левая часть уравнения представляет собой формулу куба разности: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.
В нашем случае $a = y$ и $b = 2$, так как $3a^2b = 3 \cdot y^2 \cdot 2 = 6y^2$, $3ab^2 = 3 \cdot y \cdot 2^2 = 12y$ и $b^3 = 2^3 = 8$.
Следовательно, уравнение можно записать в виде:
$(y - 2)^3 = 0$.
Отсюда следует, что $y - 2 = 0$, то есть $y = 2$.
Теперь вернемся к исходной переменной:
$2^x = 2$.
Так как $2 = 2^1$, получаем $2^x = 2^1$.
$x = 1$.
Ответ: $x=1$.

б) $(\frac{1}{2})^{3x} - 12 \cdot (\frac{1}{2})^{2x} + 48 \cdot (\frac{1}{2})^x - 64 = 0$

Перепишем уравнение, используя свойства степени: $((\frac{1}{2})^x)^3 - 12 \cdot ((\frac{1}{2})^x)^2 + 48 \cdot (\frac{1}{2})^x - 64 = 0$.
Введем замену переменной. Пусть $y = (\frac{1}{2})^x$. Уравнение примет вид:
$y^3 - 12y^2 + 48y - 64 = 0$.
Левая часть уравнения является формулой куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.
В данном случае $a = y$ и $b = 4$, так как $3a^2b = 3 \cdot y^2 \cdot 4 = 12y^2$, $3ab^2 = 3 \cdot y \cdot 4^2 = 48y$ и $b^3 = 4^3 = 64$.
Таким образом, уравнение можно записать как:
$(y - 4)^3 = 0$.
Отсюда $y - 4 = 0$, то есть $y = 4$.
Вернемся к замене:
$(\frac{1}{2})^x = 4$.
Представим обе части уравнения как степени двойки: $2^{-x} = 2^2$.
Приравниваем показатели степеней:
$-x = 2$.
$x = -2$.
Ответ: $x=-2$.

в) $5^x + 6 \cdot (\sqrt[3]{25})^x + 12 \cdot (\sqrt[3]{5})^x + 8 = 343$

Преобразуем члены уравнения, используя свойства степеней и корней:
$5^x = (5^{x/3})^3$
$(\sqrt[3]{25})^x = (25^{1/3})^x = ((5^2)^{1/3})^x = (5^{2/3})^x = (5^{x/3})^2$
$(\sqrt[3]{5})^x = (5^{1/3})^x = 5^{x/3}$
Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:
$(5^{x/3})^3 + 6 \cdot (5^{x/3})^2 + 12 \cdot 5^{x/3} + 8 = 343$.
Введем замену переменной. Пусть $y = 5^{x/3}$. Уравнение примет вид:
$y^3 + 6y^2 + 12y + 8 = 343$.
Левая часть уравнения является формулой куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.
Здесь $a = y$ и $b = 2$.
Следовательно, $(y+2)^3 = 343$.
Так как $343 = 7^3$, получаем $(y+2)^3 = 7^3$.
Отсюда $y+2 = 7$, то есть $y = 5$.
Вернемся к замене:
$5^{x/3} = 5$.
$5^{x/3} = 5^1$.
Приравниваем показатели степеней:
$x/3 = 1$.
$x = 3$.
Ответ: $x=3$.

г) $2^x + 3 \cdot (\sqrt[3]{4})^x + 3 \cdot (\sqrt[3]{2})^x + 1 = 27$

Преобразуем члены уравнения, используя свойства степеней и корней:
$2^x = (2^{x/3})^3$
$(\sqrt[3]{4})^x = (4^{1/3})^x = ((2^2)^{1/3})^x = (2^{2/3})^x = (2^{x/3})^2$
$(\sqrt[3]{2})^x = (2^{1/3})^x = 2^{x/3}$
Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:
$(2^{x/3})^3 + 3 \cdot (2^{x/3})^2 + 3 \cdot 2^{x/3} + 1 = 27$.
Введем замену переменной. Пусть $y = 2^{x/3}$. Уравнение примет вид:
$y^3 + 3y^2 + 3y + 1 = 27$.
Левая часть уравнения является формулой куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.
В нашем случае $a = y$ и $b = 1$.
Следовательно, $(y+1)^3 = 27$.
Так как $27 = 3^3$, получаем $(y+1)^3 = 3^3$.
Отсюда $y+1 = 3$, то есть $y = 2$.
Вернемся к замене:
$2^{x/3} = 2$.
$2^{x/3} = 2^1$.
Приравниваем показатели степеней:
$x/3 = 1$.
$x = 3$.
Ответ: $x=3$.