Номер 12.25, страница 76, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 12. Показательные уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 12.25, страница 76.

○12.25.

a) $(\sqrt{7})^{2x+2} - 50 \cdot (\sqrt{7})^x + 7 = 0;$

б) $(\sqrt{6})^{2x+2} - 37 \cdot (\sqrt{6})^x + 6 = 0.$

а) Исходное уравнение: $(\sqrt{7})^{2x+2} - 50 \cdot (\sqrt{7})^x + 7 = 0$.
Преобразуем первый член уравнения, используя свойства степеней $a^{m+n}=a^m \cdot a^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$:
$(\sqrt{7})^{2x+2} = (\sqrt{7})^{2x} \cdot (\sqrt{7})^2 = ((\sqrt{7})^x)^2 \cdot 7 = 7 \cdot ((\sqrt{7})^x)^2$.
Подставим это выражение обратно в уравнение:
$7 \cdot ((\sqrt{7})^x)^2 - 50 \cdot (\sqrt{7})^x + 7 = 0$.
Данное уравнение является квадратным относительно $(\sqrt{7})^x$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = (\sqrt{7})^x$. Поскольку основание степени $\sqrt{7} > 0$, то значение $t$ должно быть строго положительным, то есть $t > 0$.
Получаем квадратное уравнение относительно $t$:
$7t^2 - 50t + 7 = 0$.
Решим это уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-50)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 7 = 2500 - 196 = 2304$.
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{2304} = 48$.
Найдем корни уравнения для $t$:
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{50 + 48}{2 \cdot 7} = \frac{98}{14} = 7$.
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{50 - 48}{2 \cdot 7} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}$.
Оба корня, $t_1=7$ и $t_2=1/7$, положительны, следовательно, удовлетворяют условию $t>0$.
Теперь выполним обратную замену для каждого корня:
1) Если $t = 7$, то $(\sqrt{7})^x = 7$.
Представим обе части уравнения в виде степени с основанием 7: $(7^{1/2})^x = 7^1$, что равносильно $7^{x/2} = 7^1$.
Приравнивая показатели степеней, получаем: $x/2 = 1$, откуда $x = 2$.
2) Если $t = 1/7$, то $(\sqrt{7})^x = 1/7$.
Представим обе части уравнения в виде степени с основанием 7: $(7^{1/2})^x = 7^{-1}$, что равносильно $7^{x/2} = 7^{-1}$.
Приравнивая показатели степеней, получаем: $x/2 = -1$, откуда $x = -2$.
Таким образом, уравнение имеет два корня.
Ответ: $-2; 2$.

б) Исходное уравнение: $(\sqrt{6})^{2x+2} - 37 \cdot (\sqrt{6})^x + 6 = 0$.
Аналогично пункту а), преобразуем первый член уравнения:
$(\sqrt{6})^{2x+2} = (\sqrt{6})^{2x} \cdot (\sqrt{6})^2 = ((\sqrt{6})^x)^2 \cdot 6 = 6 \cdot ((\sqrt{6})^x)^2$.
Подставим полученное выражение в исходное уравнение:
$6 \cdot ((\sqrt{6})^x)^2 - 37 \cdot (\sqrt{6})^x + 6 = 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $y = (\sqrt{6})^x$. Так как $\sqrt{6} > 0$, то $y > 0$.
Получаем квадратное уравнение относительно $y$:
$6y^2 - 37y + 6 = 0$.
Решим его с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-37)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 6 = 1369 - 144 = 1225$.
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{1225} = 35$.
Найдем корни уравнения для $y$:
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{37 + 35}{2 \cdot 6} = \frac{72}{12} = 6$.
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{37 - 35}{2 \cdot 6} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.
Оба корня, $y_1=6$ и $y_2=1/6$, положительны и удовлетворяют условию $y>0$.
Выполним обратную замену:
1) Если $y = 6$, то $(\sqrt{6})^x = 6$.
Перепишем в виде степеней с основанием 6: $(6^{1/2})^x = 6^1$, или $6^{x/2} = 6^1$.
Отсюда $x/2 = 1$, что дает $x = 2$.
2) Если $y = 1/6$, то $(\sqrt{6})^x = 1/6$.
Перепишем в виде степеней с основанием 6: $(6^{1/2})^x = 6^{-1}$, или $6^{x/2} = 6^{-1}$.
Отсюда $x/2 = -1$, что дает $x = -2$.
Таким образом, уравнение имеет два корня.
Ответ: $-2; 2$.