Номер 12.22, страница 76, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 12. Показательные уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 12.22, страница 76.

Решите уравнение:

12.22. а) $2 \cdot 4^x - 5 \cdot 2^x + 2 = 0;$

б) $3 \cdot 9^x - 10 \cdot 3^x + 3 = 0;$

в) $4 \cdot \left(\frac{1}{16}\right)^x + 15 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^x - 4 = 0;$

г) $(0,25)^x + 1,5(0,5)^x - 1 = 0.$

а) $2 \cdot 4^x - 5 \cdot 2^x + 2 = 0$

Данное уравнение является показательным уравнением, сводящимся к квадратному. Заметим, что $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция $y=2^x$ принимает только положительные значения, то $t > 0$.

Подставим $t$ в исходное уравнение и получим квадратное уравнение:

$2t^2 - 5t + 2 = 0$

Решим это уравнение относительно $t$. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$

Найдем корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Оба корня ($t_1=2$ и $t_2=\frac{1}{2}$) удовлетворяют условию $t > 0$.

Вернемся к исходной переменной $x$, выполнив обратную замену:

1) Если $t = 2$, то $2^x = 2$. Отсюда $2^x = 2^1$, следовательно, $x_1 = 1$.

2) Если $t = \frac{1}{2}$, то $2^x = \frac{1}{2}$. Отсюда $2^x = 2^{-1}$, следовательно, $x_2 = -1$.

Ответ: $x=1, x=-1$.

б) $3 \cdot 9^x - 10 \cdot 3^x + 3 = 0$

Заметим, что $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$. Это позволяет свести уравнение к квадратному.

Произведем замену переменной. Пусть $t = 3^x$, где $t > 0$.

Уравнение примет вид:

$3t^2 - 10t + 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$

$t_2 = \frac{10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Оба корня положительны, поэтому оба подходят.

Выполним обратную замену.

1) При $t = 3$ имеем $3^x = 3$, то есть $3^x = 3^1$, откуда $x_1 = 1$.

2) При $t = \frac{1}{3}$ имеем $3^x = \frac{1}{3}$, то есть $3^x = 3^{-1}$, откуда $x_2 = -1$.

Ответ: $x=1, x=-1$.

в) $4 \cdot \left(\frac{1}{16}\right)^x + 15 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^x - 4 = 0$

Заметим, что $\frac{1}{16} = \left(\frac{1}{4}\right)^2$, поэтому $\left(\frac{1}{16}\right)^x = \left(\left(\frac{1}{4}\right)^2\right)^x = \left(\left(\frac{1}{4}\right)^x\right)^2$.

Введем замену: пусть $t = \left(\frac{1}{4}\right)^x$. Условие для новой переменной: $t>0$.

Получаем квадратное уравнение:

$4t^2 + 15t - 4 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = 15^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-4) = 225 + 64 = 289$

Найдем корни:

$t_1 = \frac{-15 + \sqrt{289}}{2 \cdot 4} = \frac{-15 + 17}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

$t_2 = \frac{-15 - \sqrt{289}}{2 \cdot 4} = \frac{-15 - 17}{8} = \frac{-32}{8} = -4$

Корень $t_2 = -4$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому является посторонним.

Рассмотрим единственный подходящий корень $t_1 = \frac{1}{4}$.

Вернемся к переменной $x$:

$\left(\frac{1}{4}\right)^x = \frac{1}{4}$

$\left(\frac{1}{4}\right)^x = \left(\frac{1}{4}\right)^1$

Отсюда $x = 1$.

Ответ: $x=1$.

г) $(0,25)^x + 1,5 \cdot (0,5)^x - 1 = 0$

Заметим, что $0,25 = (0,5)^2$, поэтому $(0,25)^x = ((0,5)^2)^x = ((0,5)^x)^2$.

Сделаем замену. Пусть $t = (0,5)^x$, при этом $t > 0$.

Получаем уравнение: $t^2 + 1,5t - 1 = 0$.

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:

$2t^2 + 3t - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант:

$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$

Корни:

$t_1 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2$

Корень $t_2 = -2$ не удовлетворяет условию $t>0$, отбрасываем его как посторонний.

Остается корень $t_1 = \frac{1}{2}$.

Выполним обратную замену:

$(0,5)^x = \frac{1}{2}$

Поскольку $0,5 = \frac{1}{2}$, имеем $\left(\frac{1}{2}\right)^x = \left(\frac{1}{2}\right)^1$.

Следовательно, $x = 1$.

Ответ: $x=1$.