Номер 12.15, страница 74, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 12. Показательные уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 12.15, страница 74.

12.15. a) $2^{4x+2} \cdot 5^{-3x-1} = 6.25 \cdot 2^{x+1};$

б) $3^{5x-1} \cdot 7^{2x-2} = 3^{3x+1}.$

а) $2^{4x+2} \cdot 5^{-3x-1} = 6,25 \cdot 2^{x+1}$

Для решения этого показательного уравнения, сначала преобразуем десятичную дробь $6,25$ в обыкновенную, а затем в степень с основанием 2 или 5.
$6,25 = 6 \frac{25}{100} = 6 \frac{1}{4} = \frac{25}{4} = \frac{5^2}{2^2} = 5^2 \cdot 2^{-2}$.

Подставим это значение обратно в уравнение:
$2^{4x+2} \cdot 5^{-3x-1} = (5^2 \cdot 2^{-2}) \cdot 2^{x+1}$

Применим свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ для правой части:
$2^{4x+2} \cdot 5^{-3x-1} = 5^2 \cdot 2^{-2 + x+1}$
$2^{4x+2} \cdot 5^{-3x-1} = 5^2 \cdot 2^{x-1}$

Теперь разделим обе части уравнения на $2^{x-1}$ и $5^{-3x-1}$, чтобы сгруппировать степени с одинаковыми основаниями. Важно отметить, что $2^{x-1} \neq 0$ и $5^{-3x-1} \neq 0$ для любых $x$.
$\frac{2^{4x+2}}{2^{x-1}} = \frac{5^2}{5^{-3x-1}}$

Применим свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$2^{(4x+2) - (x-1)} = 5^{2 - (-3x-1)}$
$2^{4x+2-x+1} = 5^{2+3x+1}$
$2^{3x+3} = 5^{3x+3}$

Разделим обе части на $5^{3x+3}$ (что не равно нулю):
$\frac{2^{3x+3}}{5^{3x+3}} = 1$
$(\frac{2}{5})^{3x+3} = 1$

Так как любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1, то показатель степени должен быть равен нулю:
$3x+3 = 0$
$3x = -3$
$x = -1$

Ответ: $-1$

б) $3^{5x-1} \cdot 7^{2x-2} = 3^{3x+1}$

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями. Для этого разделим обе части уравнения на $3^{3x+1}$ (так как $3^{3x+1} \neq 0$ для любого $x$).
$\frac{3^{5x-1} \cdot 7^{2x-2}}{3^{3x+1}} = 1$

Применим свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ к членам с основанием 3:
$3^{(5x-1) - (3x+1)} \cdot 7^{2x-2} = 1$
$3^{5x-1-3x-1} \cdot 7^{2x-2} = 1$
$3^{2x-2} \cdot 7^{2x-2} = 1$

Теперь применим свойство степеней $a^c \cdot b^c = (a \cdot b)^c$:
$(3 \cdot 7)^{2x-2} = 1$
$21^{2x-2} = 1$

Поскольку $a^0 = 1$ для любого $a \neq 0$, показатель степени должен быть равен нулю:
$2x-2 = 0$
$2x = 2$
$x = 1$

Ответ: $1$