Номер 12.21, страница 75, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 12. Показательные уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 12.21, страница 75.

12.21. a) $2^{2x} - 6 \cdot 2^x + 8 = 0;$

Б) $3^{2x} - 6 \cdot 3^x - 27 = 0;$

В) $\left(\frac{1}{6}\right)^{2x} - 5 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^x - 6 = 0;$

Г) $\left(\frac{1}{6}\right)^{2x} + 5 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^x - 6 = 0.$

а) $2^{2x} - 6 \cdot 2^x + 8 = 0$

Перепишем уравнение, используя свойство степеней $a^{bc} = (a^b)^c$:

$(2^x)^2 - 6 \cdot 2^x + 8 = 0$

Данное уравнение является квадратным относительно $2^x$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция $y=2^x$ принимает только положительные значения, то $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$t^2 - 6t + 8 = 0$

Решим это уравнение с помощью теоремы Виета. Ищем два числа, сумма которых равна 6, а произведение равно 8. Это числа 2 и 4.

$t_1 = 2$, $t_2 = 4$.

Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$.

Выполним обратную замену:

1) $2^x = t_1 = 2$

$2^x = 2^1$

$x_1 = 1$

2) $2^x = t_2 = 4$

$2^x = 2^2$

$x_2 = 2$

Ответ: $1; 2$.

б) $3^{2x} - 6 \cdot 3^x - 27 = 0$

Перепишем уравнение в виде:

$(3^x)^2 - 6 \cdot 3^x - 27 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$, где $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$t^2 - 6t - 27 = 0$

Решим его. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-27) = 36 + 108 = 144 = 12^2$.

Найдем корни:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + 12}{2} = \frac{18}{2} = 9$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - 12}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Корень $t_2 = -3$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому он является посторонним.

Выполним обратную замену для $t_1 = 9$:

$3^x = 9$

$3^x = 3^2$

$x = 2$

Ответ: $2$.

в) $(\frac{1}{6})^{2x} - 5 \cdot (\frac{1}{6})^x - 6 = 0$

Перепишем уравнение:

$((\frac{1}{6})^x)^2 - 5 \cdot (\frac{1}{6})^x - 6 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = (\frac{1}{6})^x$, где $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$t^2 - 5t - 6 = 0$

Решим его. По теореме Виета, произведение корней равно -6, а сумма равна 5. Это числа 6 и -1.

$t_1 = 6$, $t_2 = -1$.

Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t > 0$.

Выполним обратную замену для $t_1 = 6$:

$(\frac{1}{6})^x = 6$

$(6^{-1})^x = 6^1$

$6^{-x} = 6^1$

$-x = 1$

$x = -1$

Ответ: $-1$.

г) $(\frac{1}{6})^{2x} + 5 \cdot (\frac{1}{6})^x - 6 = 0$

Перепишем уравнение:

$((\frac{1}{6})^x)^2 + 5 \cdot (\frac{1}{6})^x - 6 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = (\frac{1}{6})^x$, где $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$t^2 + 5t - 6 = 0$

Решим его. По теореме Виета, произведение корней равно -6, а сумма равна -5. Это числа 1 и -6.

$t_1 = 1$, $t_2 = -6$.

Корень $t_2 = -6$ не удовлетворяет условию $t > 0$.

Выполним обратную замену для $t_1 = 1$:

$(\frac{1}{6})^x = 1$

Любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1, поэтому можно записать:

$(\frac{1}{6})^x = (\frac{1}{6})^0$

$x = 0$

Ответ: $0$.