Номер 12.26, страница 76, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 12. Показательные уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 12.26, страница 76.

12.26. a) $3^{x-1} - \left(\frac{1}{3}\right)^{3-x} = \sqrt{\frac{1}{9^{4-x}}} + 207;$

б) $\sqrt[4]{16^{x+1}} + 188 = 8 \cdot 2^x - 0,5^{3-x}.$

a) $3^{x-1} - \left(\frac{1}{3}\right)^{3-x} = \sqrt{\frac{1}{9^{4-x}}} + 207$

Преобразуем каждый член уравнения, приведя все степени к основанию 3.
Второй член в левой части: $(\frac{1}{3})^{3-x} = (3^{-1})^{3-x} = 3^{-1 \cdot (3-x)} = 3^{x-3}$.
Первый член в правой части: $\sqrt{\frac{1}{9^{4-x}}} = \sqrt{\frac{1}{(3^2)^{4-x}}} = \sqrt{\frac{1}{3^{2(4-x)}}} = \sqrt{3^{-(8-2x)}} = (3^{2x-8})^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{2x-8}{2}} = 3^{x-4}$.
Подставим преобразованные выражения обратно в уравнение:$3^{x-1} - 3^{x-3} = 3^{x-4} + 207$.
Вынесем за скобки общий множитель $3^{x-4}$:$3^{x-4} \cdot 3^3 - 3^{x-4} \cdot 3^1 = 3^{x-4} + 207$.
$27 \cdot 3^{x-4} - 3 \cdot 3^{x-4} = 3^{x-4} + 207$.
Перенесем все члены с $3^{x-4}$ в левую часть:$27 \cdot 3^{x-4} - 3 \cdot 3^{x-4} - 3^{x-4} = 207$.
$(27 - 3 - 1) \cdot 3^{x-4} = 207$.
$23 \cdot 3^{x-4} = 207$.
$3^{x-4} = \frac{207}{23}$.
$3^{x-4} = 9$.
$3^{x-4} = 3^2$.
Приравниваем показатели степени:$x - 4 = 2$.
$x = 6$.

Ответ: $x=6$.

б) $\sqrt[4]{16^{x+1} + 188} = 8 \cdot 2^x - 0,5^{3-x}$

Преобразуем обе части уравнения, приведя показательные функции к основанию 2.
Левая часть: $\sqrt[4]{16^{x+1} + 188} = \sqrt[4]{(2^4)^{x+1} + 188} = \sqrt[4]{2^{4(x+1)} + 188} = \sqrt[4]{2^{4x+4} + 188}$.
Правая часть: $8 \cdot 2^x - 0,5^{3-x} = 2^3 \cdot 2^x - (\frac{1}{2})^{3-x} = 2^{x+3} - (2^{-1})^{3-x} = 2^{x+3} - 2^{-(3-x)} = 2^{x+3} - 2^{x-3}$.
Упростим правую часть: $2^{x+3} - 2^{x-3} = 2^x \cdot 2^3 - 2^x \cdot 2^{-3} = 2^x(8 - \frac{1}{8}) = \frac{63}{8} \cdot 2^x$.
Уравнение принимает вид:$\sqrt[4]{2^{4x+4} + 188} = \frac{63}{8} \cdot 2^x$.
Сделаем замену $y = 2^x$. Так как $2^x > 0$ для любого $x$, то $y > 0$.Левая часть: $\sqrt[4]{2^{4x} \cdot 2^4 + 188} = \sqrt[4]{(2^x)^4 \cdot 16 + 188} = \sqrt[4]{16y^4 + 188}$.
Уравнение с новой переменной:$\sqrt[4]{16y^4 + 188} = \frac{63}{8}y$.
Так как $y > 0$, обе части уравнения положительны. Возведем обе части в 4-ю степень:$16y^4 + 188 = \left(\frac{63}{8}\right)^4 y^4$.
$188 = \left(\frac{63^4}{8^4} - 16\right)y^4$.
$188 = \left(\frac{63^4 - 16 \cdot 8^4}{8^4}\right)y^4$.
Вычислим числовые значения: $63^4 = 15752961$, $8^4 = 4096$, $16 \cdot 8^4 = 2^4 \cdot (2^3)^4 = 2^{16} = 65536$.
$188 = \left(\frac{15752961 - 65536}{4096}\right)y^4$.
$188 = \frac{15687425}{4096}y^4$.
Отсюда находим $y^4$:$y^4 = \frac{188 \cdot 4096}{15687425} = \frac{770048}{15687425}$.
Так как $y=2^x$, то $y^4 = (2^x)^4 = 2^{4x}$.
$2^{4x} = \frac{770048}{15687425}$.
Логарифмируем обе части по основанию 2:$4x = \log_2\left(\frac{770048}{15687425}\right)$.
$x = \frac{1}{4}\log_2\left(\frac{770048}{15687425}\right)$.

Ответ: $x = \frac{1}{4}\log_2\left(\frac{770048}{15687425}\right)$.