Номер 12.30, страница 77, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 12. Показательные уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 12.30, страница 77.

12.30. a) $3^{3x+1} - 4 \cdot 9^x = 17 \cdot 3^x - 6;$б) $32 \cdot 8^{x-1} + 3 \cdot (4^x + 2^x) = 1.$

a) $3^{3x+1} - 4 \cdot 9^x = 17 \cdot 3^x - 6$

Первым делом приведем все степени в уравнении к одному основанию 3.

$3^{3x+1} = 3^{3x} \cdot 3^1 = 3 \cdot (3^x)^3$
$9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:
$3 \cdot (3^x)^3 - 4 \cdot (3^x)^2 = 17 \cdot 3^x - 6$

Перенесем все члены в левую часть:
$3 \cdot (3^x)^3 - 4 \cdot (3^x)^2 - 17 \cdot 3^x + 6 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.
Уравнение примет вид кубического уравнения относительно $t$:
$3t^3 - 4t^2 - 17t + 6 = 0$

Найдем корни этого уравнения. Попробуем найти целые корни среди делителей свободного члена 6: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.
Проверим $t = 3$: $3(3)^3 - 4(3)^2 - 17(3) + 6 = 3 \cdot 27 - 4 \cdot 9 - 51 + 6 = 81 - 36 - 51 + 6 = 0$. Корень $t=3$ подходит.
Проверим $t = -2$: $3(-2)^3 - 4(-2)^2 - 17(-2) + 6 = 3 \cdot (-8) - 4 \cdot 4 + 34 + 6 = -24 - 16 + 34 + 6 = 0$. Корень $t=-2$ подходит.

Зная два корня, можем найти третий, разделив многочлен на $(t-3)(t+2) = t^2 - t - 6$. Или воспользуемся теоремой Виета для кубического уравнения: $t_1 \cdot t_2 \cdot t_3 = -d/a = -6/3 = -2$.
$3 \cdot (-2) \cdot t_3 = -2$
$-6 \cdot t_3 = -2$
$t_3 = 1/3$

Итак, мы получили три корня для $t$: $t_1 = 3$, $t_2 = -2$, $t_3 = 1/3$.
Вернемся к замене $t=3^x$. Учтем, что $t$ должно быть положительным ($t > 0$).

1. $t_1 = 3$:
$3^x = 3$
$3^x = 3^1$
$x = 1$

2. $t_2 = -2$:
$3^x = -2$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как $3^x > 0$ для любого $x$.

3. $t_3 = 1/3$:
$3^x = 1/3$
$3^x = 3^{-1}$
$x = -1$

Таким образом, исходное уравнение имеет два корня.
Ответ: $x_1 = 1, x_2 = -1$.

б) $32 \cdot 8^{x-1} + 3 \cdot (4^x + 2^x) = 1$

Приведем все степени к основанию 2.

$32 = 2^5$
$8^{x-1} = (2^3)^{x-1} = 2^{3(x-1)} = 2^{3x-3} = 2^{3x} \cdot 2^{-3} = \frac{(2^x)^3}{8}$
$4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$

Подставим эти выражения в уравнение:
$2^5 \cdot \frac{(2^x)^3}{8} + 3 \cdot ((2^x)^2 + 2^x) = 1$
$32 \cdot \frac{(2^x)^3}{8} + 3(2^x)^2 + 3 \cdot 2^x - 1 = 0$
$4 \cdot (2^x)^3 + 3 \cdot (2^x)^2 + 3 \cdot 2^x - 1 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = 2^x$. Так как $y=2^x > 0$, то $y>0$.
$4y^3 + 3y^2 + 3y - 1 = 0$

Найдем корни этого кубического уравнения. Попробуем найти рациональные корни среди чисел вида $\pm p/q$, где $p$ - делитель 1, $q$ - делитель 4. Возможные положительные корни: $1, 1/2, 1/4$.
Проверим $y = 1/4$:
$4(1/4)^3 + 3(1/4)^2 + 3(1/4) - 1 = 4(1/64) + 3(1/16) + 3/4 - 1 = 1/16 + 3/16 + 12/16 - 16/16 = (1+3+12-16)/16 = 0$.
Корень $y = 1/4$ подходит.

Разделим многочлен $4y^3 + 3y^2 + 3y - 1$ на $(y - 1/4)$ или, что удобнее, на $(4y-1)$:
$(4y^3 + 3y^2 + 3y - 1) : (4y - 1) = y^2 + y + 1$
Таким образом, уравнение можно записать в виде:
$(4y - 1)(y^2 + y + 1) = 0$

Это равенство выполняется, если:
1. $4y - 1 = 0 \Rightarrow y = 1/4$.
2. $y^2 + y + 1 = 0$. Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$. Так как $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Единственным действительным корнем для $y$ является $y = 1/4$. Это значение удовлетворяет условию $y > 0$.
Вернемся к замене $y = 2^x$:
$2^x = 1/4$
$2^x = 2^{-2}$
$x = -2$

Ответ: $x = -2$.