Номер 12.36, страница 77, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 12. Показательные уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 12.36, страница 77.

12.36. a) $5^{2x^2-1} - 3 \cdot 5^{(x+1)(x+2)} = 2 \cdot 5^{6(x+1)};$

б) $3^{2x^2-1} - 3(x-1)(x+5) = 2 \cdot 3^{8(x-1)}.$

а) $5^{2x^2-1} - 3 \cdot 5^{(x+1)(x+2)} = 2 \cdot 5^{6(x+1)}$

Первым делом, упростим показатели степеней в уравнении:

$(x+1)(x+2) = x^2 + 2x + x + 2 = x^2 + 3x + 2$

$6(x+1) = 6x + 6$

Подставим упрощенные выражения в исходное уравнение:

$5^{2x^2-1} - 3 \cdot 5^{x^2+3x+2} = 2 \cdot 5^{6x+6}$

Это показательное уравнение с одним основанием 5. Такие уравнения часто решаются путем деления на один из членов, чтобы получить уравнение, сводящееся к квадратному. Разделим обе части уравнения на $5^{6x+6}$. Так как $5^{6x+6} > 0$ для любого $x$, это преобразование является равносильным.

$\frac{5^{2x^2-1}}{5^{6x+6}} - \frac{3 \cdot 5^{x^2+3x+2}}{5^{6x+6}} = 2$

Используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, получаем:

$5^{(2x^2-1) - (6x+6)} - 3 \cdot 5^{(x^2+3x+2) - (6x+6)} = 2$

$5^{2x^2-6x-7} - 3 \cdot 5^{x^2-3x-4} = 2$

Обратим внимание на показатели степеней: $2x^2-6x-7$ и $x^2-3x-4$. Заметим, что $2x^2-6x-7 = 2(x^2-3x-4) + 8 - 7 = 2(x^2-3x-4) + 1$.

Сделаем замену. Пусть $y = 5^{x^2-3x-4}$. Тогда $5^{2x^2-6x-7} = 5^{2(x^2-3x-4)+1} = (5^{x^2-3x-4})^2 \cdot 5^1 = 5y^2$.

Подставим эту замену в уравнение:

$5y^2 - 3y = 2$

Получили квадратное уравнение относительно $y$:

$5y^2 - 3y - 2 = 0$

Решим его. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(5)(-2) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.

Корни уравнения для $y$:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3+7}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3-7}{2 \cdot 5} = \frac{-4}{10} = -\frac{2}{5}$

Так как $y = 5^{x^2-3x-4}$, по определению показательной функции $y$ должен быть положительным. Следовательно, корень $y_2 = -2/5$ является посторонним.

Остается $y=1$. Вернемся к исходной переменной $x$:

$5^{x^2-3x-4} = 1$

Так как $1 = 5^0$, можем приравнять показатели степеней:

$x^2 - 3x - 4 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $x$. Решим его, например, по теореме Виета:

$(x-4)(x+1) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 4$, $x_2 = -1$.

Ответ: $x = -1, x = 4$.

---

б) $3^{2x^2-1} - 3^{(x-1)(x+5)} = 2 \cdot 3^{8(x-1)}$

Упростим показатели степеней в уравнении:

$(x-1)(x+5) = x^2 + 5x - x - 5 = x^2 + 4x - 5$

$8(x-1) = 8x - 8$

Уравнение принимает вид:

$3^{2x^2-1} - 3^{x^2+4x-5} = 2 \cdot 3^{8x-8}$

Разделим обе части уравнения на $3^{8x-8}$. Так как $3^{8x-8} > 0$ при любых $x$, это равносильное преобразование.

$\frac{3^{2x^2-1}}{3^{8x-8}} - \frac{3^{x^2+4x-5}}{3^{8x-8}} = 2$

Используя свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$3^{(2x^2-1) - (8x-8)} - 3^{(x^2+4x-5) - (8x-8)} = 2$

$3^{2x^2-8x+7} - 3^{x^2-4x+3} = 2$

Заметим, что показатель первой степени связан с показателем второй: $2x^2-8x+7 = 2(x^2-4x+3) + 1$.

Сделаем замену. Пусть $y = 3^{x^2-4x+3}$. Тогда $3^{2x^2-8x+7} = 3^{2(x^2-4x+3)+1} = (3^{x^2-4x+3})^2 \cdot 3^1 = 3y^2$.

Подставим замену в уравнение:

$3y^2 - y = 2$

Перенесем все в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$3y^2 - y - 2 = 0$

Решим его. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(3)(-2) = 1 + 24 = 25 = 5^2$.

Корни уравнения для $y$:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1+5}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1-5}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$

Так как $y = 3^{x^2-4x+3}$, значение $y$ должно быть положительным. Корень $y_2 = -2/3$ не подходит.

Остается $y=1$. Произведем обратную замену:

$3^{x^2-4x+3} = 1$

Так как $1 = 3^0$, приравниваем показатели:

$x^2-4x+3 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $x$. По теореме Виета:

$(x-1)(x-3) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 3$.

Ответ: $x = 1, x = 3$.