Номер 12.43, страница 78, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 12. Показательные уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 12.43, страница 78.

12.43. При каких значениях параметра $a$ уравнение $|3^x - a| + |3^x + a| = 2$ имеет бесконечно много корней?

Для решения данного уравнения введем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Так как показательная функция $y=3^x$ принимает только положительные значения, то для новой переменной $t$ должно выполняться условие $t > 0$.

С учетом замены исходное уравнение примет вид:

$|t - a| + |t + a| = 2$, где $t > 0$.

Исходное уравнение относительно $x$ будет иметь бесконечно много корней тогда и только тогда, когда уравнение относительно $t$ будет иметь в качестве решений некоторый интервал (или полуинтервал), пересечение которого с областью $t > 0$ не является пустым множеством или одной точкой. Это связано с тем, что функция $x = \log_3 t$ является взаимно-однозначной, и каждому положительному значению $t$ из некоторого интервала будет соответствовать единственное значение $x$ из некоторого интервала, что и обеспечит бесконечное множество решений.

Рассмотрим левую часть уравнения $|t - a| + |t + a|$ с геометрической точки зрения. Это выражение равно сумме расстояний на числовой прямой от точки $t$ до точек $a$ и $-a$. Обозначим эту функцию $f(t) = |t - a| + |t - (-a)|$.

Расстояние между точками $a$ и $-a$ равно $|a - (-a)| = |2a| = 2|a|$.

Можно выделить два основных случая для значения $f(t)$. Во-первых, если точка $t$ лежит на отрезке между точками $-|a|$ и $|a|$ (включая концы), то есть $-|a| \le t \le |a|$, то сумма расстояний от $t$ до концов отрезка постоянна и равна длине этого отрезка: $f(t) = 2|a|$. Во-вторых, если точка $t$ лежит вне этого отрезка, то есть $t > |a|$ или $t < -|a|$, то сумма расстояний будет строго больше длины отрезка: $f(t) > 2|a|$.

Уравнение $f(t) = 2$ будет иметь в качестве решения целый отрезок (и, следовательно, бесконечное множество решений для $t$) только в том случае, когда правая часть уравнения, равная 2, совпадает со значением функции $f(t)$ на этом отрезке. То есть, должно выполняться равенство:

$2|a| = 2$

Отсюда получаем $|a| = 1$, что дает два возможных значения для параметра $a$: $a = 1$ и $a = -1$.

Проверим эти значения.

Случай 1: $a = 1$

Уравнение для $t$ принимает вид $|t - 1| + |t + 1| = 2$.

Согласно нашему анализу, решением этого уравнения является отрезок $t \in [-1, 1]$.

Учитывая дополнительное условие $t > 0$, получаем решения для $t$: $t \in (0, 1]$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

$0 < 3^x \le 1$

Так как $1 = 3^0$, получаем $3^x \le 3^0$. В силу того, что показательная функция с основанием $3 > 1$ является возрастающей, это неравенство равносильно неравенству $x \le 0$. Неравенство $3^x > 0$ выполняется для любого действительного $x$.

Таким образом, при $a=1$ решением уравнения является промежуток $x \in (-\infty, 0]$, который содержит бесконечно много корней.

Случай 2: $a = -1$

Уравнение для $t$ принимает вид $|t - (-1)| + |t + (-1)| = 2$, что эквивалентно $|t + 1| + |t - 1| = 2$.

Это то же самое уравнение, что и в случае $a=1$. Его решением является отрезок $t \in [-1, 1]$.

С учетом условия $t > 0$, получаем $t \in (0, 1]$.

Возвращаясь к переменной $x$, снова получаем $x \in (-\infty, 0]$, что является бесконечным множеством корней.

Если же $|a| \neq 1$, то возможны два варианта. Во-первых, при $|a| > 1$ минимальное значение левой части равно $2|a| > 2$, поэтому уравнение $|t - a| + |t + a| = 2$ не имеет решений. Во-вторых, при $|a| < 1$ минимальное значение левой части равно $2|a| < 2$. В этом случае уравнение $|t - a| + |t + a| = 2$ будет иметь не более двух дискретных корней для $t$, что приведет к не более чем двум корням для $x$. Это не является бесконечным множеством.

Следовательно, единственными значениями параметра $a$, при которых уравнение имеет бесконечно много корней, являются $a = 1$ и $a = -1$.

Ответ: $a = -1; 1$.