Номер 13.2, страница 79, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 13. Показательные неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 13.2, страница 79.

13.2. a) $3^x \le 81$;

б) $(\frac{1}{3})^x > \frac{1}{27}$;

в) $5^x > 125$;

г) $(0,2)^x \le 0,04$.

а) Решим показательное неравенство $3^x \le 81$. Для этого необходимо привести обе части неравенства к одному и тому же основанию. В данном случае, это основание 3. Представим число 81 в виде степени числа 3: $81 = 9^2 = (3^2)^2 = 3^4$. Теперь исходное неравенство можно переписать в виде: $3^x \le 3^4$. Так как основание степени $a = 3$ больше единицы ($a > 1$), показательная функция $y=3^x$ является возрастающей. Это означает, что для показателей степени знак неравенства сохраняется. Следовательно, получаем: $x \le 4$.

Ответ: $x \le 4$ или $x \in (-\infty, 4]$.

б) Решим неравенство $(\frac{1}{3})^x > \frac{1}{27}$. Приведем обе части к основанию $\frac{1}{3}$. Представим правую часть $\frac{1}{27}$ как степень числа $\frac{1}{3}$: $\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = (\frac{1}{3})^3$. Неравенство принимает вид: $(\frac{1}{3})^x > (\frac{1}{3})^3$. Так как основание степени $a = \frac{1}{3}$ находится в интервале от 0 до 1 ($0 < a < 1$), показательная функция $y=(\frac{1}{3})^x$ является убывающей. Это означает, что при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный. Таким образом, получаем: $x < 3$.

Ответ: $x < 3$ или $x \in (-\infty, 3)$.

в) Решим неравенство $5^x > 125$. Приведем обе части к основанию 5. Число 125 можно представить как степень числа 5: $125 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3$. Подставим это в неравенство: $5^x > 5^3$. Основание степени $a = 5$ больше единицы ($a > 1$), поэтому показательная функция $y=5^x$ является возрастающей. Знак неравенства для показателей степеней сохраняется. Получаем: $x > 3$.

Ответ: $x > 3$ или $x \in (3, +\infty)$.

г) Решим неравенство $(0,2)^x \le 0,04$. Приведем обе части к основанию 0,2. Представим число 0,04 как степень числа 0,2: $0,04 = (0,2)^2$. Неравенство переписывается в виде: $(0,2)^x \le (0,2)^2$. Так как основание степени $a = 0,2$ находится в интервале от 0 до 1 ($0 < a < 1$), показательная функция $y=(0,2)^x$ является убывающей. Следовательно, при переходе к показателям знак неравенства необходимо изменить на противоположный. Получаем: $x \ge 2$.

Ответ: $x \ge 2$ или $x \in [2, +\infty)$.