Номер 13.4, страница 79, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 13. Показательные неравенства - номер 13.4, страница 79.

Условие.

13.4. а) $7^{2x-9} > 7^{3x-6};$

б) $0,5^{4x+3} \ge 0,5^{6x-1};$

в) $9^{x-1} \ge 9^{-2x+8};$

г) $\left(\frac{7}{11}\right)^{-3x-0,5} < \left(\frac{7}{11}\right)^{x+1,5}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Дано показательное неравенство $7^{2x-9} > 7^{3x-6}$.

Так как основание степени $a=7$ больше 1 ($7 > 1$), показательная функция является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента (показателя степени). Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$2x - 9 > 3x - 6$

Решим полученное линейное неравенство. Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а свободные члены — в другую:

$6 - 9 > 3x - 2x$

$-3 > x$

Запишем в более привычном виде: $x < -3$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3)$

---

б) Дано показательное неравенство $0,5^{4x+3} \ge 0,5^{6x-1}$.

Так как основание степени $a=0,5$ находится в интервале от 0 до 1 ($0 < 0,5 < 1$), показательная функция является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$4x + 3 \le 6x - 1$

Решим полученное линейное неравенство:

$3 + 1 \le 6x - 4x$

$4 \le 2x$

Разделим обе части на 2 (знак неравенства не меняется):

$2 \le x$

Запишем в более привычном виде: $x \ge 2$.

Ответ: $x \in [2; +\infty)$

---

в) Дано показательное неравенство $9^{x-1} \ge 9^{-2x+8}$.

Так как основание степени $a=9$ больше 1 ($9 > 1$), показательная функция является возрастающей. Знак неравенства для показателей сохраняется:

$x - 1 \ge -2x + 8$

Решим полученное линейное неравенство:

$x + 2x \ge 8 + 1$

$3x \ge 9$

Разделим обе части на 3:

$x \ge 3$

Ответ: $x \in [3; +\infty)$

---

г) Дано показательное неравенство $(\frac{7}{11})^{-3x-0,5} < (\frac{7}{11})^{x+1,5}$.

Так как основание степени $a = \frac{7}{11}$ находится в интервале от 0 до 1 ($0 < \frac{7}{11} < 1$), показательная функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$-3x - 0,5 > x + 1,5$

Решим полученное линейное неравенство:

$-0,5 - 1,5 > x + 3x$

$-2 > 4x$

Разделим обе части на 4:

$-\frac{2}{4} > x$

$-0,5 > x$

Запишем в более привычном виде: $x < -0,5$.

Ответ: $x \in (-\infty; -0,5)$